Cours de Chute verticale libre et Chute verticale avec frottement 2 Bac-SP-SVT-SM-Biof

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Cours de la physique de :
2-BAC-SP-SVT-SM-Biof

Chute verticale libre et Chute verticale avec frottement d'un corps solide

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Chute verticale d’un solide : applications

      I-            Etude expérimentale :

1-     Expériences :

On considère les expériences suivantes : étude de mouvement d’un solide dans le vide (Expérience 1) puis dans un fluide visqueux (expérience 2) a permet de tracer les courbes suivantes :

2-     Remarques :

a-      Dans le vide :

·     La vitesse augmente proportionnellement au temps, ,

·     L’accélération constante, ,

·     z(t) a une courbe parabolique, ,

C’est la définition d’un mouvement uniformément accéléré,

Le solide n’est soumis qu’à son poids au cours de son mouvement, alors il est en chute libre.

b-      Dans le fluide :

·         La vitesse augmente avec le temps et se stabilise ensuite à une valeur limite qu’on note _,

·         La courbe de la vitesse et celle de l’accélération montrent l’existence de deux régimes :

Ø  Le régime transitoire : le mouvement est rectiligne accéléré, la vitesse augmente et l’accélération diminue,

Ø   Le régime permanent : le mouvement est rectiligne uniforme  et .

·         La courbe de z(t) est composée d’une partie parabolique (pour le R.T) et d’une partie linéaire (pour le R.P).

3-     Conclusion :

·         Pour la chute dans un fluide, la diminution de l'accélération ne peut être expliquée que par la présence d'une force dont le sens est opposé à celui du mouvement, et dont l'intensité dépend de la valeur de la vitesse du solide,

·         Par conséquence, le fluide exerce une force sur le solide au cours de son mouvement.

  II-            Etude théorique de la Chute libre verticale :

1-     L'équation différentielle du mouvement :

On étudie la chute libre verticale d’un solide (S) de masse m dans un référentiel lié à la terre considérée comme galiléen.

Système étudié : {le solide (S)}

Le bilan des forces : seulement son poids , alors

D’après la deuxième loi de Newton, on écrit :  donc  alors

On remarque que l’accélération ne dépend pas de la masse m.

Par la projection de la relation sur l’axe , on trouve :  c’est l’équation différentielle du mouvement. Au cours du mouvement,  et  alors  ;  ;  et .

Donc  et puisque la trajectoire est rectiligne donc le mouvement est rectiligne uniformément varié,

2-     Solution des équations différentielles :

a-      Equation de la vitesse :

On a  donc, par l’intégration on trouve : ,

Alors l’expression de  est , sa norme est .

b-      Equation horaire de vecteur position :

On a  donc, par l’intégration on trouve : , 

Alors l’expression de  est ,

sa norme est .

III-            Chute verticale avec frottements :

1-     Force de frottement fluide :

La force de frottement fluide  est une force de contact répartie, appliquée par un fluide sur un corps se déplaçant par rapport à lui. Ses caractéristiques sont les suivantes :

·         Origine : le centre d’inertie du solide,

·         Direction : c’est la direction de la vitesse ,

·         Sens : inverse au sens du mouvement,

·         Intensité :  avec  la valeur de la vitesse du solide et K une constante qui dépend de la nature du fluide, de la forme du solide, de ses dimensions et de l’état de sa surface.

Ø   Pour les faibles vitesses : on prend , donc ,

Ø   Pour les  grandes vitesses : on prend , donc .

2-     Poussée d’Archimède :

Tout solide immergé dans un fluide est soumis à l’action d’une force exercée par ce fluide, elle est appelée poussée d’Archimède, notée . Et elle est égale à l’opposé du vecteur poids du volume du fluide déplacé :

.

Avec  la masse du fluide déplacé,  la masse volumique du fluide et V son volume déplacé.

Ses caractéristiques sont les suivantes :

·         Origine : le centre d’inertie du fluide déplacé,

·         Direction : Verticale,

·         Sens : Vers le haut,

·     Intensité : .

3-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle du mouvement :

On considère une bille de masse m complètement immergée dans un fluide :

Le système étudié : {La bille}
Bilan des forces, la bille est soumis à :

Le poids ,

La poussée d’Archimède ,

La force de frottement fluide .

Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère (O, z), En appliquent la deuxième loi de Newton, on écrit :  

Alors

Alors

La projection da la relation vectorielle sur l’axe (Oz) : ,

Donc

Alors , on pose  et  pour écrire l’équation différentielle du mouvement sous la forme : .

b-      Grandeurs caractéristiques du mouvement :

La vitesse limite :

Au régime permanant, , donc , alors ,

Donc  d’où ,

Remarque :

,

L’accélération initiale :

Par définition avec , alors  car .

Temps caractéristique du mouvement   :

·     La tangente de la courbe à  coupe l’asymptote horizontal en un point d’abscisse ,

·     Le temps caractéristique  donne l’ordre de grandeur de la durée du régime initial .

Graphiquement, , alors .

c-      Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler :

La méthode d’Euler est une méthode numérique itérative qui permet de résoudre les équations différentielles en se basant sur l’approximation :

,  est de l’ordre de ,  est appelé pas de calcul.

donc  d’où

D’après l’équation di

Application :

L’étude verticale d’une bille, de masse m=35g et de rayon r=2cm, dans un fluide de masse volumique , a permet de tracer la courbe suivante :

On modélise la force de frottement du fluide sur la bille par  :

1-      Faire le bilan des forces appliquées sur la bille au cours de la chute, puis donner ses expressions, puis ses intensités,

2-      Représenter le schéma en précisant un repère convenable pour cette étude,

3-   Vérifier que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : ,

4-      Trouver la valeur de vitesse limite, puis préciser la valeur de de A et celle de B,

5-      Trouver la valeur de l’accélération au régime permanant, le temps caractéristique du mouvement puis la valeur de l’accélération initiale,

6-    Utiliser ,  comme le pas de calcul de la méthode d’Euler  pour compléter le tableau suivant :

. . . . . . . . . Fin . . . . . . .

Application :

L’étude verticale d’une bille, de masse m=35g et de rayon r=2cm, dans un fluide de masse volumique , a permet de tracer la courbe suivante :

On modélise la force de frottement du fluide sur la bille par  :

7-      Faire le bilan des forces appliquées sur la bille au cours de la chute, puis donner ses expressions, puis ses intensités,

8-      Représenter le schéma en précisant un repère convenable pour cette étude,

9-   Vérifier que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : ,

10-  Trouver la valeur de vitesse limite, puis préciser la valeur de de A et celle de B,

11-  Trouver la valeur de l’accélération au régime permanant, le temps caractéristique du mouvement puis la valeur de l’accélération initiale,

12-  Utiliser ,  comme le pas de calcul de la méthode d’Euler  pour compléter le tableau suivant :

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Application :

L’étude verticale d’une bille, de masse m=35g et de rayon r=2cm, dans un fluide de masse volumique , a permet de tracer la courbe suivante :

On modélise la force de frottement du fluide sur la bille par  :

1-      Faire le bilan des forces appliquées sur la bille au cours de la chute, puis donner ses expressions, puis ses intensités,

2-      Représenter le schéma en précisant un repère convenable pour cette étude,

3-   Vérifier que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : ,

4-      Trouver la valeur de vitesse limite, puis préciser la valeur de de A et celle de B,

5-      Trouver la valeur de l’accélération au régime permanant, le temps caractéristique du mouvement puis la valeur de l’accélération initiale,

6-    Utiliser ,  comme le pas de calcul de la méthode d’Euler  pour compléter le tableau suivant :

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Application :

L’étude verticale d’une bille, de masse m=35g et de rayon r=2cm, dans un fluide de masse volumique , a permet de tracer la courbe suivante :

On modélise la force de frottement du fluide sur la bille par  :

1-      Faire le bilan des forces appliquées sur la bille au cours de la chute, puis donner ses expressions, puis ses intensités,

2-      Représenter le schéma en précisant un repère convenable pour cette étude,

3-   Vérifier que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : ,

4-      Trouver la valeur de vitesse limite, puis préciser la valeur de de A et celle de B,

5-      Trouver la valeur de l’accélération au régime permanant, le temps caractéristique du mouvement puis la valeur de l’accélération initiale,

6-    Utiliser ,  comme le pas de calcul de la méthode d’Euler  pour compléter le tableau suivant :

Les lois de Newton

      I-            Vecteur vitesse et vecteur accélération :

1-     Vecteur position :

Pour repérer la position du mobile, on utilise un repère d'espace  d'origine O et dont les vecteurs unitaires:  ;  et . Avec ; et ;  et .

est appelé vecteur position, sa norme est : .

G : Centre d'inertie du corps, et x, y et z :sont les coordonnée du centre d'inertie G dans le repère ,

Si le corps est en mouvement, ses coordonnées x, y et z variant en fonction du temps, alors les fonctions : x=f(t), y=g(t) et h(t) sont appelées les équations horaires du mouvement.

La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours de son mouvement.

2-   Vecteur vitesse instantané   :

·     Le vecteur vitesse instantanée du centre d'inertie d'un corps est donné par la relation suivante : ,

Alors

·     Les coordonnées du vecteur vitesse instantané sont :

·         Son module est :   .

·     Le vecteur vitesse  est tangente à la trajectoire en , dans le sens du mouvement.

3-   Vecteur accélération    :

a-      Dans un repère cartésien :

Le vecteur accélération du centre d'inertie d'un corps est donné par la relation suivante : ,

Alors

Les coordonnées du vecteur accélération sont :

Le module de  est : .

La dimension de : on a , donc , alors  s’exprime en .

b-      Dans une base de Frenet :

Le repère de Frenet est un repère local orthonormé lié au mobile que l'on note  , le vecteur unitaire  est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens du mouvement.

Le vecteur unitaire  est normal, et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, il est perpendiculaire à .

·     L'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet est :

·     La composante tangentielle de  est :

·     La composante normale de  est :

·         ρ : est le rayon de courbure de la trajectoire au point M. (Si la trajectoire est un cercle ρ=R rayon du cercle).

Remarques :

Si le mouvement est rectiligne, alors  alors  donc ,

Si le mouvement est rectiligne uniforme, alors  alors  et , alors  donc ,

Si mouvement est circulaire uniforme, , alors , donc .

c-      La nature du mouvement :

·     Le mouvement est dit accéléré si la vitesse augmente et ,

·     Le mouvement est dit uniforme si la vitesse reste constante et ,

·     Le mouvement est dit retardé si la vitesse diminue et ,

·     Le mouvement est uniformément varié si .

Application 1 :

Les coordonnées de centre d’inertie G d’un mobile dans un repère cartésien sont :

;  et :

1-   Trouver l’expression du vecteur position , calculer sa norme à l’instant ,

2-   Déduire l’expression de vecteur vitesse  , calculer sa valeur à l’instant ,

3-   Déduire l’expression de vecteur accélération , calculer sa norme, à l’instant ,

4-      Calculer la composante tangentielle et la composante normale de l’accélération dans la base de Frenet à l’instant  . Déduire la valeur du rayon de courbure à cet instant,

5-      Quelle est la nature du mouvement du point G ?

Correction :

1-   , à , on a

2-   , à , on a ,

3-   ,  , on a ,

4-   , alors le mouvement est accéléré.

Remarques :

On a , alors le mvt est uniformément accéléré,

, donc le mouvement ne se fait pas selon l’axe (Ox),

 Donc le mouvement est uniforme selon l’axe (Oy),

 Donc le mouvement est uniformément varié (accéléré dans ce cas) selon l’axe (Oz).

4-     Référentiel Galiléen :

·         Le référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié,

·         On considère chaque référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel Galiléen, est également Galiléen,

·         Le référentiel Copernic est le meilleur référentiel Galiléen : le référentiel héliocentrique (repère lié au centre du Soleil),

·         Un référentiel terrestre peut être considéré comme un référentiel Galiléen pour des mouvements de courte durée. 

  II-            Lois de newton :

1-     Troisième loi de Newton (Action et réaction) :

Si un corps A exerce une force  sur un corps B, alors le corps B exerce une force  sur le corps A, telle que :  que les deux corps soient en mouvement ou au repos, et que le repère soit galiléen ou non galiléen.

2-     Premièr loi de Newton (Principe d’inertie) :

Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie G d’un système isolé (ne soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (  est : soit immobile ( , soit en mouvement rectiligne uniforme ( ,

3-     Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) :

a-      Activité :

On tire, par une force constante de l’intensité est F=0,38N, un autoporteur de masse m=600g sur une table à coussin d’air horizontale. Les résultats obtenus sont les suivants : (on donne ).

b-      Remarques

Le système étudié est : ,

L’autoporteur est soumis à trois forces :  son poids ;  la réaction de la table à coussin d’air et la force ,

La table à coussin d’air est horizontale alors  (sans frottement),

Alors , alors ,

Et d’autre part, on a , alors

On remarque que les deux vecteurs  et  ont les mêmes caractéristiques, donc ,

Mathématiquement, le vecteur est exprimé par la relation :  

Alors, l’expression de la deuxième loi de Newton est :  

c-      Conclusion :

Dans un référentiel galiléen la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur un corps est égale au produit de la masse du corps et du vecteur accélération de son centre d'inertie, et on écrit : .

Remarques :

·     Pour un corps mécaniquement isolé ou pseudo-isolé, on a :  d’où ,

Alors , alors la première loi est un cas particulier de la deuxième loi de Newton.

·         La loi fondamentale de la dynamique n’est vérifiée que dans les référentiels Galiléens.

·         D’près : , pour les mêmes forces, plus la masse est grande, plus le changement de vitesse est faible. Alors la masse résiste au changement de vitesse. La masse caractérise donc l'inertie du corps solide

Application 2 :

On donne :  g = 10N/Kg et on négligera la résistance de l’air :

Un skieur de 80 kg descend une piste de longueur AB=100m inclinée de 20° par rapport à l’horizontale. Le skieur est lâché de point A sans vitesse initiale et sans frottement :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le skieur sur un schéma convenable,

2-      Déterminer expression de l'accélération,

3-      Ecrire les équations horaires du mouvement du skieur,

4-      Déterminer la vitesse de skieur en bout de piste B.

5-      En réalité, les frottements ne sont pas négligeables, elles équivalents à une force parallèle à (AB) d’intensité f=50N constante et de sens opposé du mouvement :

a-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le skieur sur un schéma convenable,

b-      Déterminer expression de l'accélération,

c-      Ecrire les équations horaires du mouvement du skieur,

d-      Déterminer la vitesse de skieur en bout de piste B.

Application 3 :

Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que R_N=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement,

4-      Déduire la valeur de la composante tangentielle R_T,

5-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

6-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

7-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

8-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

 

Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que R_N=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle R_T,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que R_N=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle R_T,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que R_N=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle R_T,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que R_N=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle R_T,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

 

 

Oscillations libres dans un circuit RLC série

      I-            Décharge d’un condensateur dans une bobine :

1-     Etude expérimentale :

a-      Activité :