Mvt de rotation d'un solide

 

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Cours de la physique de :
2-BAC-SP-SVT-SM-Biof

Mvt de rotation d'un solide

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Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe

      I-            Mouvement de rotation :

1-     Abscisse angulaire - abscisse curviligne :

·         Un corps solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si tous ses points décrivent des trajectoires circulaires centrées sur cet axe sauf les points de cet axe sont immobiles,

·         La position d’un point d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ), peut être repérée par son abscisse angulaire θ, ou son abscisse curviligne S tel que  ( R est le rayon de la trajectoire circulaire).

2-     Vitesse angulaire - vitesse linéaire :

La vitesse angulaire d’un solide.

Tous les points d’un corps solide ont la même vitesse angulaire 

Comme on peut utiliser les méthodes d’encadrement suivantes :

Le vecteur vitesse instantanée a pour direction la tangente au cercle, au point M (il est donc toujours perpendiculaire au rayon R)

3-   Accélération angulaire  :

l’accélération angulaire est donnée par la relation suivante :  elle s’exprime en rad/s²

L’expression du vecteur accélération dans la base frenet est* Finalement :

R est le rayon de la trajectoire circulaire du point mobile, en mètres (m).

Application 1 :

1-      La vitesse angulaire d’un point M d’un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe est

, et son abscisse angulaire à l’origine des dates est :

a-      Calculer l’accélération angulaire du point M, en déduire la nature de son mouvement,

b-      Écrire l’expression de l’abscisse angulaire du point M en fonction du temps,

2-      L’expression de l’abscisse angulaire d’un point N d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est :

 ; t est en (s) et θ en  :

a-   Déterminer l’expression de la vitesse angulaire du point N, calculer sa valeur à ,

b-      Déterminer l’expression de l’accélération angulaire du point N, en déduire la nature de son mouvement.

  II-            Relation fondamentale de la dynamique de rotation :

1-     Moment d’une force par rapport à un axe :

Le moment d'une force  par rapport à un axe (∆) est une grandeur physique traduisant l'aptitude de cette force à faire tourner un solide autour de l’axe (∆), noté  et exprimé en N.m , tel que:

, F : l’intensité de la force  en N, d la distance entre sa ligne d’action et l’axe de rotation (∆) en m. Le sens positif de rotation est choisi arbitrairement.

 : Lorsque  tend à faire tourner le solide dans le sens arbitraire positif choisi.

: lorsque  tend à faire tourner le solide au contraire du sens arbitraire positif choisi.

2-     Enoncé du principe :

Dans un référentiel lié à la terre supposé Galiléen, la somme algébrique des moments des forces extérieurs  appliquées à un corps solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ), est égale à chaque instant, au produit du moment d’inertie  et de l’accélération angulaire  du corps solide à cet instant, soit : 

 s’exprime en (N.m) ; J_∆ en kg.m² et  en rad.s^-2

Remarque :

Si ,  alors le mouvement est une rotation uniforme autour de l’axe (Δ).

Si , alors le mouvement est une rotation uniformément variée autour de l’axe (Δ).

3-     Equations horaires de mouvement :

On dit que le mouvement de rotation est uniformément varié lorsque l'accélération angulaire est constante et non nulle, c'est-à-dire quec’est l’équation horaire du mouvement d’une rotation uniformément variée.

4-     Application : Etude d’un système en translation et en rotation :

On considère le système mécanique suivant :

Une poulie (P) de rayon r ; de masse  de moment d'inertie , pouvant tourner autour de l'axe horizontal (∆) passant par son centre.

On enroule sur la gorge de cette poulie un fil (f) inextensible de masse négligeable. Le fil ne glisse pas sur la poulie. A l'extrémité libre du fil, on accroche un solide (S) de masse m. le solide (S) est capable de glisser sans frottement sur le plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale.

Dans un référentiel lié à la terre considéré Galiléen, on libère le système, la poulie tourne autour de l'axe (∆) et le solide (S) glisse sans frottement sur le plan incliné.

a-      Montrer que  l’intensité de la force appliquée par le fil sur la poulie est 

b-      Montrer que , en déduire la nature du mouvement du corps (S) et celle de la poulie (P),

c-      Etablir les équations horaires du mouvement du corps (S) et celle de la poulie (P),

5-     Expression du moment d’inertie de quelques solides :Exercice d’application :

Une poulie (P) de rayon R= 8cm et de moment d'inertie  est mobile sans frottement autour de l'axe horizontal (∆) passant par son centre.

On enroule sur la gorge de cette poulie un fil inextensible de masse négligeable.

A l'extrémité libre du fil, on accroche un solide (S) de masse m=100g.

Le solide (S), se trouve à une hauteur h=4,4m, au-dessus du sol.

On abandonne le système à lui-même sans vitesse initiale à l'instant de date t₀ =0s.

1-      Exprimer , la composante de l’accélération du solide (S), en fonction m, g, r et ,

2-      Calculer la valeur de , en déduire la nature du mouvement du solide (S),

3-   Déduire la valeur de , en déduire la nature du mouvement de poulie,

4-      Une seconde après le début du mouvement, le fil supportant le solide (S) se détache de la poulie :

a-      Avec quelle vitesse et au bout de combien de temps le solide (S) atteint-il le sol ?

b-      Quelle est la nature du mouvement ultérieure de la poulie (après détachement du fil) ?

c-      Ecrire l'équation horaire de ce mouvement. On prendra comme origine des abscisses angulaires la position du rayon OA à l'instant de date t₀ =0s,

d-      On applique à la poulie un couple de freinage de moment M_f constant. La poulie s'arrête après avoir effectué 10 tours en mouvement de rotation uniformément retardé. Calculer le moment du couple de freinage.

Mouvements plans

      I-            Mouvement d'un projectile :

1-     Etude expérimentale :

a-      Expérience :

Dans un champ de pesanteur uniforme , on lance un projectile, de masse m avec une vitesse initiale , formant un angle α avec le plan horizontal, à un instant t=0s. On néglige les frottements de l’air ainsi la poussée d’Archimède, alors le projectile soumis à son poids uniquement (chute libre). Un dispositif expérimental a permis d’obtenir les mesures nécessaires pour tracer la trajectoire suivante : 

b-      Remarques :

·         Le sommet ou La flèche F est l’altitude maximale atteinte par le centre d’inertie du projectile,

·         La portée est la distance entre la position G₀ du centre d’inertie du projectile à l’instant du lancement et la position P du point G lors de la chute du projectile tel que P appartient à l’axe horizontal qui passe par G₀,

·     L’expression vectoriel de vitesse initiale est ,

·     Le mouvement se fait dans le plan , donc le mouvement du projectile est un mouvement plan.

2-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle :

Système étudié : {le corps (S)}.

Le corps (S) est soumis à son poids 

En projetant de cette relation vectorielle sur les trois axes, on obtient les équations différentielles du mouvement 

b-      Solutions des équations différentielles :

A l’origine des dates

On alors par l’intégration : 

Donc, par l’intégration représente les équations horaires du mouvement.

Remarques :

 est une fonction linéaire, donc, sur l’axe  le mouvement est rectiligne et uniforme,

 est une fonction de deuxième ordre, donc, sur l’axe  le mouvement est uniformément varié,

Et puisque ;  varie et  varie donc le mouvement est plan.

3-     Trajectoire du centre d’inertie :

a-      Equation de la trajectoire :

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut éliminer le temps à partir des équations horaires :

On a  alors  on remplace dans et on trouve :

 alors  c’est l’équation de la trajectoire.

L’expression de  confirme sa représentation parabolique obtenue en étude expérimentale.

b-      Le sommet ou La flèche :

Au point F, la courbe de

Application 1 :

Monter que  lorsque  pour une valeur donnée de  puis montrer que .

c-      La Portée :

C'est la distance qui sépare le point de lancement et le point de tombée du projectile sur le même axe (ox).

On remarque que pour une valeur donnée de  puis montrer que 

Remarque :

Soient  et  tel que , pour une valeur donnée de ,

on a 

 

Finalement si 

  II-            Mouvement d'un solide sur un plan : (devoir à la maison)

A un instant choisi comme origine des dates, on lance un autoporteur de masse m sur une table à coussin d’air incliné d’un angle  par rapport à l’horizontale avec une vitesse initiale, de valeur est , forme un angle  avec le bord inférieur de la table.

On néglige tous les frottements. Etablir :

1-      Les équations différentielles,

2-      La nature du mouvement,

3-      Les équations horaires du vecteur vitesse,

4-      Les équations horaires du vecteur position,

5-      L’équation de la trajectoire,

6-   Représenter la courbe de  et celle de ,

7-   Représenter la courbe de  et celle de .

On donne : .

 

a-      Expérience :

Dans un champ de pesanteur uniforme , on lance un projectile, de masse m avec une vitesse initiale , formant un angle α avec le plan horizontal, à un instant t=0s. On néglige les frottements de l’air ainsi la poussée d’Archimède, alors le projectile soumis à son poids uniquement (chute libre). Un dispositif expérimental a permis d’obtenir les mesures nécessaires pour tracer la trajectoire suivante :

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a-      Expérience :

Dans un champ de pesanteur uniforme , on lance un projectile, de masse m avec une vitesse initiale , formant un angle α avec le plan horizontal, à un instant t=0s. On néglige les frottements de l’air ainsi la poussée d’Archimède, alors le projectile soumis à son poids uniquement (chute libre). Un dispositif expérimental a permis d’obtenir les mesures nécessaires pour tracer la trajectoire suivante :

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a-      Expérience :

Dans un champ de pesanteur uniforme , on lance un projectile, de masse m avec une vitesse initiale , formant un angle α avec le plan horizontal, à un instant t=0s. On néglige les frottements de l’air ainsi la poussée d’Archimède, alors le projectile soumis à son poids uniquement (chute libre). Un dispositif expérimental a permis d’obtenir les mesures nécessaires pour tracer la trajectoire suivante :

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a-      Expérience :

Dans un champ de pesanteur uniforme , on lance un projectile, de masse m avec une vitesse initiale , formant un angle α avec le plan horizontal, à un instant t=0s. On néglige les frottements de l’air ainsi la poussée d’Archimède, alors le projectile soumis à son poids uniquement (chute libre). Un dispositif expérimental a permis d’obtenir les mesures nécessaires pour tracer la trajectoire suivante :

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a-      Expérience :

Dans un champ de pesanteur uniforme , on lance un projectile, de masse m avec une vitesse initiale , formant un angle α avec le plan horizontal, à un instant t=0s. On néglige les frottements de l’air ainsi la poussée d’Archimède, alors le projectile soumis à son poids uniquement (chute libre). Un dispositif expérimental a permis d’obtenir les mesures nécessaires pour tracer la trajectoire suivante :

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Chute verticale d’un solide : applications

      I-            Etude expérimentale :

1-     Expériences :

On considère les expériences suivantes : étude de mouvement d’un solide dans le vide (Expérience 1) puis dans un fluide visqueux (expérience 2) a permet de tracer les courbes suivantes :

2-     Remarques :

a-      Dans le vide :

·     La vitesse augmente proportionnellement au temps, ,

·     L’accélération constante, ,

·     z(t) a une courbe parabolique, ,

C’est la définition d’un mouvement uniformément accéléré,

Le solide n’est soumis qu’à son poids au cours de son mouvement, alors il est en chute libre.

b-      Dans le fluide :

·         La vitesse augmente avec le temps et se stabilise ensuite à une valeur limite qu’on note _,

·         La courbe de la vitesse et celle de l’accélération montrent l’existence de deux régimes :

Ø  Le régime transitoire : le mouvement est rectiligne accéléré, la vitesse augmente et l’accélération diminue,

Ø   Le régime permanent : le mouvement est rectiligne uniforme  et .

·         La courbe de z(t) est composée d’une partie parabolique (pour le R.T) et d’une partie linéaire (pour le R.P).

3-     Conclusion :

·         Pour la chute dans un fluide, la diminution de l'accélération ne peut être expliquée que par la présence d'une force dont le sens est opposé à celui du mouvement, et dont l'intensité dépend de la valeur de la vitesse du solide,

·         Par conséquence, le fluide exerce une force sur le solide au cours de son mouvement.

  II-            Etude théorique de la Chute libre verticale :

1-     L'équation différentielle du mouvement :

On étudie la chute libre verticale d’un solide (S) de masse m dans un référentiel lié à la terre considérée comme galiléen.

Système étudié : {le solide (S)}

Le bilan des forces : seulement son poids , alors

D’après la deuxième loi de Newton, on écrit :  donc  alors

On remarque que l’accélération ne dépend pas de la masse m.

Par la projection de la relation sur l’axe , on trouve :  c’est l’équation différentielle du mouvement. Au cours du mouvement,  et  alors  ;  ;  et .

Donc  et puisque la trajectoire est rectiligne donc le mouvement est rectiligne uniformément varié,

2-     Solution des équations différentielles :

a-      Equation de la vitesse :

On a  donc, par l’intégration on trouve : ,

Alors l’expression de  est , sa norme est .

b-      Equation horaire de vecteur position :

On a  donc, par l’intégration on trouve : , 

Alors l’expression de  est ,

sa norme est .

III-            Chute verticale avec frottements :

1-     Force de frottement fluide :

La force de frottement fluide  est une force de contact répartie, appliquée par un fluide sur un corps se déplaçant par rapport à lui. Ses caractéristiques sont les suivantes :

·         Origine : le centre d’inertie du solide,

·         Direction : c’est la direction de la vitesse ,

·         Sens : inverse au sens du mouvement,

·         Intensité :  avec  la valeur de la vitesse du solide et K une constante qui dépend de la nature du fluide, de la forme du solide, de ses dimensions et de l’état de sa surface.

Ø   Pour les faibles vitesses : on prend , donc ,

Ø   Pour les  grandes vitesses : on prend , donc .

2-     Poussée d’Archimède :

Tout solide immergé dans un fluide est soumis à l’action d’une force exercée par ce fluide, elle est appelée poussée d’Archimède, notée . Et elle est égale à l’opposé du vecteur poids du volume du fluide déplacé :

.

Avec  la masse du fluide déplacé,  la masse volumique du fluide et V son volume déplacé.

Ses caractéristiques sont les suivantes :

·         Origine : le centre d’inertie du fluide déplacé,

·         Direction : Verticale,

·         Sens : Vers le haut,

·     Intensité : .

3-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle du mouvement :

On considère une bille de masse m complètement immergée dans un fluide :

Le système étudié : {La bille}
Bilan des forces, la bille est soumis à :

Le poids ,

La poussée d’Archimède ,

La force de frottement fluide .

Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère (O, z), En appliquent la deuxième loi de Newton, on écrit :  

Alors

Alors

La projection da la relation vectorielle sur l’axe (Oz) : ,

Donc

Alors , on pose  et  pour écrire l’équation différentielle du mouvement sous la forme : .

b-      Grandeurs caractéristiques du mouvement :

La vitesse limite :

Au régime permanant, , donc , alors ,

Donc  d’où ,

Remarque :

,

L’accélération initiale :

Par définition avec , alors  car .

Temps caractéristique du mouvement   :

·     La tangente de la courbe à  coupe l’asymptote horizontal en un point d’abscisse ,

·     Le temps caractéristique  donne l’ordre de grandeur de la durée du régime initial .

Graphiquement, , alors .

c-      Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler :

La méthode d’Euler est une méthode numérique itérative qui permet de résoudre les équations différentielles en se basant sur l’approximation :

,  est de l’ordre de ,  est appelé pas de calcul.

donc  d’où

D’après l’équation di

Application :

L’étude verticale d’une bille, de masse m=35g et de rayon r=2cm, dans un fluide de masse volumique , a permet de tracer la courbe suivante :

On modélise la force de frottement du fluide sur la bille par  :

1-      Faire le bilan des forces appliquées sur la bille au cours de la chute, puis donner ses expressions, puis ses intensités,

2-      Représenter le schéma en précisant un repère convenable pour cette étude,

3-   Vérifier que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : ,

4-      Trouver la valeur de vitesse limite, puis préciser la valeur de de A et celle de B,

5-      Trouver la valeur de l’accélération au régime permanant, le temps caractéristique du mouvement puis la valeur de l’accélération initiale,

6-    Utiliser ,  comme le pas de calcul de la méthode d’Euler  po