Lois de Newton
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Les
lois de Newton
I-
1-
Vecteur
position :
Pour repérer la position du mobile, on utilise un repère d'espace
G : Centre d'inertie du corps, et x, y et z :sont les coordonnée du
centre d'inertie G dans le repère
Si le corps est en mouvement, ses coordonnées x, y et z variant en
fonction du temps, alors les fonctions : x=f(t), y=g(t) et h(t) sont appelées
les équations horaires du mouvement.
La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées
par le mobile au cours de son mouvement.
2-
Vecteur
vitesse instantané
· Le vecteur vitesse instantanée du centre d'inertie d'un corps est
donné par la relation suivante :
Alors
· Les coordonnées du vecteur vitesse instantané sont :
·
Son module
est :
· Le vecteur vitesse
3-
Vecteur
accélération
a-
Dans
un repère cartésien :
Le vecteur accélération du centre d'inertie d'un corps est donné
par la relation suivante :
Alors
Les coordonnées du vecteur accélération sont :
Le module de
La dimension de
b-
Dans
une base de Frenet :
Le repère de Frenet est un repère local orthonormé lié au mobile
que l'on note
Le vecteur unitaire
· L'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet est :
· La composante tangentielle de
· La composante normale de
·
ρ :
est le rayon de courbure de la trajectoire au point M. (Si la trajectoire est
un cercle ρ=R rayon du cercle).
Remarques :
Si le mouvement est rectiligne, alors
Si le mouvement est rectiligne uniforme, alors
Si mouvement est circulaire uniforme,
c-
La nature
du mouvement :
· Le mouvement est dit accéléré si la vitesse
augmente et
· Le mouvement est dit uniforme si la vitesse reste
constante et
· Le mouvement est dit retardé si la vitesse diminue
et
· Le mouvement est uniformément varié si
Application 1 :
Les coordonnées de centre d’inertie G d’un
mobile dans un repère cartésien sont :
1-
Trouver
l’expression du vecteur position
2-
Déduire
l’expression de vecteur vitesse
3-
Déduire
l’expression de vecteur accélération
4-
Calculer
la composante tangentielle et la composante normale de l’accélération dans la
base de Frenet à l’instant
5-
Quelle
est la nature du mouvement du point G ?
Correction :
1-
2-
3-
4-
Remarques :
On a
4-
Référentiel
Galiléen :
·
Le référentiel
Galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié,
·
On considère
chaque référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel
Galiléen, est également Galiléen,
·
Le référentiel
Copernic est le meilleur référentiel Galiléen : le référentiel
héliocentrique (repère lié au centre du Soleil),
·
Un référentiel
terrestre peut être considéré comme un référentiel Galiléen pour des mouvements
de courte durée.
II-
Lois
de newton :
1-
Troisième
loi de Newton (Action et réaction) :
Si un
corps A exerce une force
2-
Premièr
loi de Newton (Principe d’inertie) :
Dans
un référentiel galiléen, le centre d’inertie G d’un système isolé (ne soumis à
aucune force) ou pseudo-isolé (
3-
Deuxième
loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) :
a-
On tire, par une force constante de l’intensité
est F=0,38N, un autoporteur de masse m=600g sur une table à coussin d’air
horizontale. Les résultats obtenus sont les suivants : (on donne
b- Remarques
Le système étudié est :
L’autoporteur est soumis à trois forces :
La table à coussin d’air est horizontale alors
Alors
Et d’autre part, on a
On remarque que les deux vecteurs
Mathématiquement, le vecteur est exprimé par la
relation :
Alors, l’expression de la deuxième loi de
Newton est :
c-
Conclusion :
Dans un référentiel galiléen la somme des
vecteurs forces qui s'exercent sur un corps est égale au produit de la masse du
corps et du vecteur accélération de son centre d'inertie, et on écrit :
Remarques :
· Pour un corps mécaniquement isolé ou
pseudo-isolé, on a :
Alors
·
La loi
fondamentale de la dynamique n’est vérifiée que dans les référentiels Galiléens.
·
D’près :
Application 2 :
On donne :
g = 10N/Kg et on négligera la résistance de l’air :
Un skieur de 80 kg descend une piste de
longueur AB=100m inclinée de 20° par rapport à l’horizontale. Le skieur est lâché
de point A sans vitesse initiale et sans frottement :
1-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le skieur sur un schéma convenable,
2-
Déterminer
expression de l'accélération,
3-
Ecrire
les équations horaires du mouvement du skieur,
4-
Déterminer
la vitesse de skieur en bout de piste B.
5-
En
réalité, les frottements ne sont pas négligeables, elles équivalents à une force
parallèle à (AB) d’intensité f=50N constante et de sens opposé du mouvement :
a-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le skieur sur un schéma convenable,
b-
Déterminer
expression de l'accélération,
c-
Ecrire
les équations horaires du mouvement du skieur,
d-
Déterminer
la vitesse de skieur en bout de piste B.
Application 3 :
Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un
plan horizontal, sous l’action d’une force
1-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le
problème,
2-
3-
Etablir
l’équation différentielle du mouvement,
4-
Déduire
la valeur de la composante tangentielle RT,
5-
Déduire
la valeur de
6-
Déduire
les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend
7-
Le
corps passe par deux points A et B avec des vitesses
Calculer la durée de parcours entre A et B,
puis déduire la distance AB,
8-
On
élimine la force
Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un
plan horizontal, sous l’action d’une force
1-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le
problème,
2-
Calculer
F l’intensité de la force
3-
Etablir
l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante
tangentielle RT,
4-
Déduire
la valeur de
5-
Déduire
les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend
6-
Le
corps passe par deux points A et B avec des vitesses
Calculer la durée de parcours entre A et B,
puis déduire la distance AB,
7-
On
élimine la force
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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un
plan horizontal, sous l’action d’une force
1-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le
problème,
2-
Calculer
F l’intensité de la force
3-
Etablir
l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante
tangentielle RT,
4-
Déduire
la valeur de
5-
Déduire
les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend
6-
Le
corps passe par deux points A et B avec des vitesses
Calculer la durée de parcours entre A et B,
puis déduire la distance AB,
7-
On
élimine la force
- - - - - - - - -
- - - - - - - - -
Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un
plan horizontal, sous l’action d’une force
1-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,
2-
Calculer
F l’intensité de la force
3-
Etablir
l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante
tangentielle RT,
4-
Déduire
la valeur de
5-
Déduire
les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend
6-
Le
corps passe par deux points A et B avec des vitesses
Calculer la durée de parcours entre A et B,
puis déduire la distance AB,
7-
On
élimine la force
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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un
plan horizontal, sous l’action d’une force
1-
Représenter
qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le
problème,
2-
Calculer
F l’intensité de la force
3-
Etablir
l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante
tangentielle RT,
4-
Déduire
la valeur de
5-
Déduire
les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend
6-
Le
corps passe par deux points A et B avec des vitesses
Calculer la durée de parcours entre A et B,
puis déduire la distance AB,
7-
On
élimine la force
Oscillations libres dans un circuit RLC série
I- Décharge d’un condensateur dans une bobine :
1- Etude expérimentale :
a- Activité :
On considère le montage électrique suivant :
On donne Après avoir chargé totalement le condensateur, on bascule l’interrupteur K vers la position (2), pour obtenir un circuit série et libre, et à l’aide d’un oscilloscope, on obtient la courbe ci-contre :
b- Remarques et conclusion :
· Lorsqu’on bascule l’interrupteur k vers la position (2), le condensateur se décharge dans la bobine,
· L’amplitude de la tension décroît alternativement au cours du temps, on dit que les oscillations sont amorties,
· Le circuit RLC ne comporte pas de générateur : les oscillations sont dites libres,
· Pour les courbes (1 et 2), la pseudo-période , alors elle ne dépend pas de la résistance R,
· La pseudo-période augmente avec l’augmentation de C la capacité du condensateur ou l’augmentation de L le coefficient de l’auto-inductance de la bobine,
· L’amortissement est due au fait qu'une partie de l'énergie électrique se perd sous forme de chaleur au niveau de la résistance du circuit par effet Joule.
2- Régimes d’oscillations libre d’un circuit RLC série :
Selon la valeur de la résistance totale du circuit, on distingue trois régimes :
a- Régime périodique :
· Lorsque la résistance totale du circuit est nulle les oscillations sont libres et non amorties, l’amplitude de la tension est constante (, dans ce cas ,
· Ce régime est caractérisé par sa période propre , elle dépend de L et C,
· La valeur de dans ce cas est ,
b- Régime pseudo-périodique :
· Lorsque la résistance totale du circuit est faible, les oscillations sont libres et amorties et leur amplitude diminue jusqu'à ce qu'il s'annule.
· Cas de l'amortissement faible,
· Ce régime est caractérisé par sa pseudo-période, pratiquement : .
· Dans cet exemple : , elle dépend de L et C et ne dépend pas de R,
c- Régime apériodique :
· Lorsque est très grande, le condensateur perd sa charge sans oscillations,
· Cas de l'amortissement fort,
3- Équation différentielle d’un circuit RLC série :
On considère le montage ci-contre :
Remarque :
Le terme est la grandeur qui traduit l’amortissement des oscillations électriques, en absence de ce terme, les oscillations deviennent périodique sinusoïdales.
II- Oscillations non amorties dans un circuit LC idéal :
1- Etude analytique d’un circuit LC idéal :
a- Equation différentielle :
On considère le montage électrique suivant :
La résistance interne de la bobine est nulle (une bobine idéale),
Le condensateur est initialement chargé par un générateur de f.e.m E=6V,
Les équations différentielles vérifiées par
Alors la période propre s’exprime en seconde (s),
2- Expression de i(t) et celle de q(t) :
III- Transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine :
1- Le circuit LC idéal :
a- Expression de l'énergie totale d’un circuit LC :
· Lors d'oscillations non amorties, l'énergie électrique dans le condenseur se transforme en énergie magnétique dans la bobine et vice versa.
· Alors l’expression de l’énergie totale du circuit LC est : ,
· On a à démontrer,
Alors l’énergie totale d'un circuit LC idéal est conserve et égale à l'énergie initiale emmagasinée dans le condensateur,
b- Conclusion :
· Lorsque l’énergie emmagasinée dans le condensateur diminue, l’énergie de la bobine augment et vice versa, Donc il y a un échange d’énergie entre le condensateur et la bobine au cours d’une période avec est la période propre des oscillations.
Application 1 : on considère les courbes ci-contre : (on donne L=0,2H)
a- Donner l’énergie que représente chaque courbe,
b- Trouver la valeur de l’énergie totale de circuit,
c- Déduire l’énergie électrique et l’énergie magnétique à t=2,2ms,
d- Calculer la valeur de C, puis calculer la valeur de f.é.m E et celle de Imax.
2- Energie du circuit RLC libre :
· L’expression de l’énergie totale du circuit RLC est :
,
· On a à démontrer,
Conclusion :
L'énergie totale du circuit RLC décroit en fonction du temps et les oscillations sont amorties à cause de la perte de l'énergie électrique par effet joule (transfert thermique) au niveau de la résistance.
Application 2 : on considère les courbes ci-contre : (on donne E=10V)
a- Attribuer à chaque courbe l’énergie correspondant,
b- Déduire la valeur de l’énergie emmagasinée dans le condensateur initialement,
c- Calculer la variation de l’énergie totale entre deux instants t1=2ms et t2=4ms,
d- Déduire la valeur de l’énergie dissipée par effet Joule entre t1 et t2,
e- Trouver la valeur de pseudo-période , puis calculer C et L.
IV- Entretien des oscillations :
1- Objectif :
Pour entretenir les oscillations d’un circuit RLC libre, il faut apporter au circuit la même quantité d’énergie qui a été perdue. C’est le rôle du dispositif d’entretien.
2- Montage d’entretien :
Remarque :
On a, d’unConclusion :
· Le montage d’entretien est un dispositif qui fournit au circuit une tension proportionnelle à l’intensité du courant :
,
· Il se comporte comme un conducteur ohmique de résistance négative.
3- Equation différentielle :
L’équation différentielle est :
Alors si RT=R0 l’équation différentielle devient : ,
On retrouve une équation différentielle identique à celle d’un circuit LC idéal, donc les oscillations sont entretenues (sont sinusoïdales) d’amplitude constante et d’une période propre .
Conclusion :
· On peut entretenir les oscillations d’un circuit RLC série pour obtenir une tension oscillante d’amplitude constante en utilisant un dispositif qui compense l’énergie dissipée par effet joule au niveau des résistances.
· A base d’un montage d’entretien, on peut créer une tension sinusoïdale de période à partir d’un circuit RLC série.
Application 3 :
On réalise un circuit LC en associant une bobine de coefficient d’auto-inductance Avec un condensateur de capacité C chargé totalement par un générateur de tension de force électromotrice E0, et on obtient la courbe ci-contre :
1- Donner le schéma du montage,
2- Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension entre les bornes du condensateur,
3- La solution de cette équation différentielle est de la forme :
a- Trouver la valeur de et calculer la valeur de ,
b- Etablir l’expression de , puis trouver sa valeur graphiquement,
4- Trouver la valeur de la capacité C du condensateur. (On prend ),
5- Trouver l’énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine à l’instant t1=1,8ms,
6- Trouver la valeur de l’intensité du courant à t2=1,5ms.
Dipôle RL
Situation problème :
Une nuit, et après avoir terminé votre révision de la leçon" le dipôle RC" avec ton ami, vous avez voulu regarder une chaîne de télévision. Cependant, lors de son allumage, vous avez eu un désaccord sur l'illumination progressive d'une ampoule près d'un des boutons de la télévision. Votre ami a affirmé que le condensateur en était responsable. Comment expliquer à votre ami que le condensateur ne peut pas contribuer à ce phénomène ?
I. La bobine :
1- Définition :
·
· On symbolise la bobine par l’un des symboles suivants :
·
· L est son coefficient d’auto-inductance, il est exprimé en Henry (H).
2- Influence d’une bobine dans un circuit :
a- Expérience :
On réalise le montage expérimental ci-contre puis on ferme l’interrupteur k :
b- Remarques :
· L1 brille instantané et L2 s’allume avec un retard temporel (c’est un phénomène transitoire),
· Lorsqu’on ouvre l’interrupteur k, on constate que L1 s’éteint instantanément et L2 s’éteint progressivement,
· Au bout d’un temps suffisant, les deux lampes brillent de la même manière (c’est un régime permanant).
c- Conclusion :
· La présence d’une bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant dans un circuit électrique,
·
3- Expression de la tension aux bornes de la bobine :
a- Cas d’un courant électrique continu :
Expérience :
On considère le montage électrique suivant :
Exploitation :
Après avoir tracer la courbe ci-contre, on constate que
alors
Donc
Donc, dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.
b-
Expérience :
On réalise le montage électrique suivant : L=0,05H ; R=5KΩ ; GBF généré une tension triangulaire,
Remarques :
· Selon la loi d’Ohm
· Sur l’intervalle
alors
Telle que
Et d’autre part, Sur l’intervalle
Conclusion :
N.B.
· Si le courant électrique est continu, alors
· Si la résistance interne de la bobine et négligeable, alors
· La bobine résiste l’établissement ou l’annulation du courant qui la traverse à cause du produit
· Si la variation de
· Pour éviter ce phénomène, on insère une diode en parallèle avec la bobine.
II.
1- Dipôle RL :
Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de la