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Cours de Lois de Newton 2 BAC SP SVT SM Biof

 


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Cours de la physique de :

2-BAC-SP-SVT-SM-Biof

Lois de Newton

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     SpBiof     
موقع للفيزياء والكيمياء
للأستاذ محمد عمراوي
E-mail : spbiof@gmail.com
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Les lois de Newton

      I-            Vecteur vitesse et vecteur accélération :

1-     Vecteur position :

Pour repérer la position du mobile, on utilise un repère d'espace  d'origine O et dont les vecteurs unitaires:  ;  et . Avec ; et ;  et .

est appelé vecteur position, sa norme est : .

G : Centre d'inertie du corps, et x, y et z :sont les coordonnée du centre d'inertie G dans le repère ,

Si le corps est en mouvement, ses coordonnées x, y et z variant en fonction du temps, alors les fonctions : x=f(t), y=g(t) et h(t) sont appelées les équations horaires du mouvement.

La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours de son mouvement.

2-   Vecteur vitesse instantané   :

·     Le vecteur vitesse instantanée du centre d'inertie d'un corps est donné par la relation suivante : ,

Alors

·     Les coordonnées du vecteur vitesse instantané sont :

·         Son module est :   .

·     Le vecteur vitesse  est tangente à la trajectoire en , dans le sens du mouvement.

3-   Vecteur accélération    :

a-      Dans un repère cartésien :

Le vecteur accélération du centre d'inertie d'un corps est donné par la relation suivante : ,

Alors

Les coordonnées du vecteur accélération sont :

Le module de  est : .

La dimension de : on a , donc , alors  s’exprime en .

b-      Dans une base de Frenet :

Le repère de Frenet est un repère local orthonormé lié au mobile que l'on note  , le vecteur unitaire  est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens du mouvement.

Le vecteur unitaire  est normal, et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, il est perpendiculaire à .

·     L'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet est :

·     La composante tangentielle de  est :

·     La composante normale de  est :

·         ρ : est le rayon de courbure de la trajectoire au point M. (Si la trajectoire est un cercle ρ=R rayon du cercle).

Remarques :

Si le mouvement est rectiligne, alors  alors  donc ,

Si le mouvement est rectiligne uniforme, alors  alors  et , alors  donc ,

Si mouvement est circulaire uniforme, , alors , donc .

c-      La nature du mouvement :

·     Le mouvement est dit accéléré si la vitesse augmente et ,

·     Le mouvement est dit uniforme si la vitesse reste constante et ,

·     Le mouvement est dit retardé si la vitesse diminue et ,

·     Le mouvement est uniformément varié si .

Application 1 :

Les coordonnées de centre d’inertie G d’un mobile dans un repère cartésien sont :

;  et :

1-   Trouver l’expression du vecteur position , calculer sa norme à l’instant ,

2-   Déduire l’expression de vecteur vitesse  , calculer sa valeur à l’instant ,

3-   Déduire l’expression de vecteur accélération , calculer sa norme, à l’instant ,

4-      Calculer la composante tangentielle et la composante normale de l’accélération dans la base de Frenet à l’instant  . Déduire la valeur du rayon de courbure à cet instant,

5-      Quelle est la nature du mouvement du point G ?

Correction :

1-   , à , on a

2-   , à , on a ,

3-   , on a ,

4-   , alors le mouvement est accéléré.

Remarques :

On a , alors le mvt est uniformément accéléré,

, donc le mouvement ne se fait pas selon l’axe (Ox),

 Donc le mouvement est uniforme selon l’axe (Oy),

 Donc le mouvement est uniformément varié (accéléré dans ce cas) selon l’axe (Oz).

4-     Référentiel Galiléen :

·         Le référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié,

·         On considère chaque référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel Galiléen, est également Galiléen,

·         Le référentiel Copernic est le meilleur référentiel Galiléen : le référentiel héliocentrique (repère lié au centre du Soleil),

·         Un référentiel terrestre peut être considéré comme un référentiel Galiléen pour des mouvements de courte durée. 

  II-            Lois de newton :

1-     Troisième loi de Newton (Action et réaction) :

Si un corps A exerce une force  sur un corps B, alors le corps B exerce une force  sur le corps A, telle que :  que les deux corps soient en mouvement ou au repos, et que le repère soit galiléen ou non galiléen.

2-     Premièr loi de Newton (Principe d’inertie) :

Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie G d’un système isolé (ne soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (  est : soit immobile ( , soit en mouvement rectiligne uniforme ( ,

3-     Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique) :

a-      Activité :

On tire, par une force constante de l’intensité est F=0,38N, un autoporteur de masse m=600g sur une table à coussin d’air horizontale. Les résultats obtenus sont les suivants : (on donne ).

b-      Remarques

Le système étudié est : ,

L’autoporteur est soumis à trois forces :  son poids ;  la réaction de la table à coussin d’air et la force ,

La table à coussin d’air est horizontale alors  (sans frottement),

Alors , alors ,

Et d’autre part, on a , alors

On remarque que les deux vecteurs  et  ont les mêmes caractéristiques, donc ,

Mathématiquement, le vecteur est exprimé par la relation :  

Alors, l’expression de la deuxième loi de Newton est :  

c-      Conclusion :

Dans un référentiel galiléen la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur un corps est égale au produit de la masse du corps et du vecteur accélération de son centre d'inertie, et on écrit : .

Remarques :

·     Pour un corps mécaniquement isolé ou pseudo-isolé, on a :  doù ,

Alors , alors la première loi est un cas particulier de la deuxième loi de Newton.

·         La loi fondamentale de la dynamique n’est vérifiée que dans les référentiels Galiléens.

·         D’près : , pour les mêmes forces, plus la masse est grande, plus le changement de vitesse est faible. Alors la masse résiste au changement de vitesse. La masse caractérise donc l'inertie du corps solide

Application 2 :

On donne :  g = 10N/Kg et on négligera la résistance de l’air :

Un skieur de 80 kg descend une piste de longueur AB=100m inclinée de 20° par rapport à l’horizontale. Le skieur est lâché de point A sans vitesse initiale et sans frottement :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le skieur sur un schéma convenable,

2-      Déterminer expression de l'accélération,

3-      Ecrire les équations horaires du mouvement du skieur,

4-      Déterminer la vitesse de skieur en bout de piste B.

5-      En réalité, les frottements ne sont pas négligeables, elles équivalents à une force parallèle à (AB) d’intensité f=50N constante et de sens opposé du mouvement :

a-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le skieur sur un schéma convenable,

b-      Déterminer expression de l'accélération,

c-      Ecrire les équations horaires du mouvement du skieur,

d-      Déterminer la vitesse de skieur en bout de piste B.

Application 3 :

Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que RN=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement,

4-      Déduire la valeur de la composante tangentielle RT,

5-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

6-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

7-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

8-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.


 

Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que RN=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle RT,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que RN=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle RT,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que RN=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle RT,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

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Un corps de masse m= 80kg se déplace, sur un plan horizontal, sous l’action d’une force  constante et forme un angle de 12,0° par rapport à le plan. La composante de l’accélération selon l’axe (Ox) est :

1-      Représenter qualitativement les forces agissant sur le corps après avoir schématisé le problème,

2-   Calculer F l’intensité de la force , Sachant que RN=664N,

3-      Etablir l’équation différentielle du mouvement, Déduire la valeur de la composante tangentielle RT,

4-   Déduire la valeur de  l’intensité du , ainsi la valeur de K le coefficient de frottement,

5-   Déduire les coordonnées du vecteur vitesse et celles du vecteur position, on prend ,

6-      Le corps passe par deux points A et B avec des vitesses  et :

Calculer la durée de parcours entre A et B, puis déduire la distance AB,

7-   On élimine la force  à l’instant ou G passe par le point B, on prend   comme origine des dates. Le corps continue son mouvement sur le plan BC pour s’arrêter en un point C : calculer BC.

 

 

Oscillations libres dans un circuit RLC série

      I-            Décharge d’un condensateur dans une bobine :

1-     Etude expérimentale :

a-      Activité :

On considère le montage électrique suivant :

On donne Après avoir chargé totalement le condensateur, on bascule l’interrupteur K vers la position (2), pour obtenir un circuit  série et libre, et à l’aide d’un oscilloscope, on obtient la courbe ci-contre :

b-      Remarques et conclusion :

·         Lorsqu’on bascule l’interrupteur k vers la position (2), le condensateur se décharge dans la bobine,

·     L’amplitude de la tension  décroît alternativement au cours du temps, on dit que les oscillations sont amorties,

·         Le circuit RLC ne comporte pas de générateur : les oscillations sont dites libres,

·     Pour les courbes (1 et 2), la pseudo-période , alors elle ne dépend pas de la résistance R,

·     La pseudo-période  augmente avec l’augmentation de C la capacité du condensateur ou l’augmentation de L le coefficient de l’auto-inductance de la bobine,

·         L’amortissement est due au fait qu'une partie de l'énergie électrique se perd sous forme de chaleur au niveau de la résistance du circuit par effet Joule.

2-     Régimes d’oscillations libre d’un circuit RLC série :

Selon la valeur de la résistance totale du circuit, on distingue trois régimes :

a-      Régime périodique :

·     Lorsque la résistance totale du circuit est nulle  les oscillations sont libres et non amorties, l’amplitude de la tension est constante (, dans ce cas ,

·         Ce régime est caractérisé par sa période propre , elle dépend de L et C,

·         La valeur de  dans ce cas est ,

b-      Régime pseudo-périodique :

·         Lorsque la résistance totale du circuit est faible, les oscillations sont libres et amorties et leur amplitude diminue jusqu'à ce qu'il s'annule.

·         Cas de l'amortissement faible,

·         Ce régime est caractérisé par sa pseudo-période, pratiquement : .

·     Dans cet exemple : , elle dépend de L et C et ne dépend pas de R,

c-      Régime apériodique :

·         Lorsque  est très grande, le condensateur perd sa charge sans oscillations,

·         Cas de l'amortissement fort,

3-     Équation différentielle d’un circuit RLC série :

On considère le montage ci-contre :

Remarque :

Le terme  est la grandeur qui traduit l’amortissement des oscillations électriques, en absence de ce terme, les oscillations deviennent périodique sinusoïdales.

  II-            Oscillations non amorties dans un circuit LC idéal :

1-     Etude analytique d’un circuit LC idéal :

a-      Equation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

La résistance interne de la bobine est nulle (une bobine idéale),

Le condensateur est initialement chargé par un générateur de f.e.m E=6V,

Les équations différentielles vérifiées par 

Alors la période propre s’exprime en seconde (s),

2-     Expression de i(t) et celle de q(t) :


III-            Transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine :

1-     Le circuit LC idéal :

a-      Expression de l'énergie totale d’un circuit LC :

·         Lors d'oscillations non amorties, l'énergie électrique dans le condenseur se transforme en énergie magnétique dans la bobine et vice versa.

·     Alors l’expression de l’énergie totale du circuit LC est : ,

·     On a  à démontrer,

Alors l’énergie totale d'un circuit LC idéal est conserve et égale à l'énergie initiale emmagasinée dans le condensateur,

b-      Conclusion :

·         Lorsque l’énergie emmagasinée dans le condensateur diminue, l’énergie de la bobine augment et vice versa, Donc il y a un échange d’énergie entre le condensateur et la bobine au cours d’une période  avec  est la période propre des oscillations.

Application 1 : on considère les courbes ci-contre : (on donne L=0,2H)

a-      Donner l’énergie que représente chaque courbe,

b-      Trouver la valeur de l’énergie totale de circuit,

c-      Déduire l’énergie électrique et l’énergie magnétique à t=2,2ms,

d-      Calculer la valeur de C, puis calculer la valeur de f.é.m E et celle de Imax.

2-     Energie du circuit RLC libre :

·         L’expression de l’énergie totale du circuit RLC est :


,

·     On a  à démontrer,

Conclusion :

 L'énergie totale du circuit RLC décroit en fonction du temps et les oscillations sont amorties à cause de la perte de l'énergie électrique par effet joule (transfert thermique) au niveau de la résistance.

Application 2 : on considère les courbes ci-contre : (on donne E=10V)

a-      Attribuer à chaque courbe l’énergie correspondant,

b-      Déduire la valeur de l’énergie emmagasinée dans le condensateur initialement,

c-      Calculer la variation de l’énergie totale entre deux instants t1=2ms et t2=4ms,

d-      Déduire la valeur de l’énergie dissipée par effet Joule entre t1 et t2,

e-   Trouver la valeur de pseudo-période , puis calculer C et L.

IV-            Entretien des oscillations :

1-     Objectif :

Pour entretenir les oscillations d’un circuit RLC libre, il faut apporter au circuit la même quantité d’énergie qui a été perdue. C’est le rôle du dispositif d’entretien.

2-     Montage d’entretien :

Remarque :

On a, d’unConclusion :

·     Le montage d’entretien est un dispositif qui fournit au circuit une tension  proportionnelle à l’intensité du courant :

,

·         Il se comporte comme un conducteur ohmique de résistance négative.

3-     Equation différentielle :

L’équation différentielle est : 

Alors si RT=R0 l’équation différentielle devient :  ,

On retrouve une équation différentielle identique à celle d’un circuit LC idéal, donc les oscillations sont entretenues (sont sinusoïdales) d’amplitude constante et d’une période propre  .

Conclusion :

·         On peut entretenir les oscillations d’un circuit RLC série pour obtenir une tension oscillante d’amplitude constante en utilisant un dispositif qui compense l’énergie dissipée par effet joule au niveau des résistances.

·     A base d’un montage d’entretien, on peut créer une tension sinusoïdale de période  à partir d’un circuit RLC série.

Application 3 :

On réalise un circuit LC en associant une bobine de coefficient d’auto-inductance  Avec un condensateur de capacité C chargé totalement par un générateur de tension de force électromotrice E0, et on obtient la courbe ci-contre :

1-      Donner le schéma du montage,

2-   Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension  entre les bornes du condensateur,

3-   La solution de cette équation différentielle est de la forme :

a-      Trouver la valeur de  et calculer la valeur de ,

b-      Etablir l’expression de , puis trouver sa valeur graphiquement,

4-   Trouver la valeur de la capacité C du condensateur. (On prend ),

5-      Trouver l’énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine à l’instant t1=1,8ms,

6-      Trouver la valeur de l’intensité du courant à t2=1,5ms.

Dipôle RL

Situation problème :

Une nuit, et après avoir terminé votre révision de la leçon" le dipôle RC" avec ton ami, vous avez voulu regarder une chaîne de télévision. Cependant, lors de son allumage, vous avez eu un désaccord sur l'illumination progressive d'une ampoule près d'un des boutons de la télévision. Votre ami a affirmé que le condensateur en était responsable. Comment expliquer à votre ami que le condensateur ne peut pas contribuer à ce phénomène ?

    I.            La bobine :

1-     Définition :

·         Une bobine est constituée d’un enroulement sur un cylindre dans le même sens d’un fil conducteur recouvert d’une matière isolante,

·         On symbolise la bobine par l’un des symboles suivants :

·         r est la résistance interne de la bobine, son unité est (Ω),

·         L est son coefficient d’auto-inductance, il est exprimé en Henry (H).

2-     Influence d’une bobine dans un circuit :

a-      Expérience :

On réalise le montage expérimental ci-contre puis on ferme l’interrupteur k :

b-      Remarques :

·         L1 brille instantané et L2 s’allume avec un retard temporel (c’est un phénomène transitoire),

·         Lorsqu’on ouvre l’interrupteur k, on constate que L1 s’éteint instantanément et L2 s’éteint progressivement,

·         Au bout d’un temps suffisant, les deux lampes brillent de la même manière (c’est un régime permanant).

c-      Conclusion :

·         La présence d’une bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant dans un circuit électrique,

·         Au régime permanant, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

3-     Expression de la tension aux bornes de la bobine :

a-      Cas d’un courant électrique continu :

Expérience :

On considère le montage électrique suivant :

A l’instant t=0s, on ferme l’interrupteur k et on obtient les résultats suivants :


Exploitation :

 Après avoir tracer la courbe ci-contre, on constate que tel que :  et   Donc  s’exprime en V/A

alors  

Donc  a la dimension d’une résistance r alors

Donc, dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

b-      Cas d’un courant électrique variable :

Expérience :

On réalise le montage électrique suivant : L=0,05H ; R=5KΩ ; GBF généré une tension triangulaire,  et :

 Remarques :

·     Selon la loi d’Ohm  alors 

Donc  est proportionnelle à  alors la visualisation de  permet de visualiser ,

·     Sur l’intervalle , la courbe de  a la forme d’une droite,

alors

Telle que  et , Alors  alors A, Alors  

Et d’autre part, Sur l’intervalle  Alors  finalement   .

Conclusion :

La tension aux bornes d’une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de résistance interne r parcourue par un courant électrique d’intensité i est donnée par la relation suivante : .

N.B.

·     Si le courant électrique est continu, alors  donc , dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r, c’est le cas du régime permanant,

·     Si la résistance interne de la bobine et négligeable, alors , donc c’est le cas d’une bobine idéale,

·         La bobine résiste l’établissement ou l’annulation du courant qui la traverse à cause du produit ,

·     Si la variation de  est très rapide, alors  sera très élevé donc on observe un phénomène de surtension.

·         Pour éviter ce phénomène, on insère une diode en parallèle avec la bobine.

II.            Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension :

1-     Dipôle RL :

Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de la