Chute verticale d’un solide : applications
I- Etude expérimentale :
1- Expériences :
On considère les expériences suivantes : étude de mouvement d’un solide dans le vide (Expérience 1) puis dans un fluide visqueux (expérience 2) a permet de tracer les courbes suivantes :
2- Remarques :
a- Dans le vide :
· La vitesse augmente proportionnellement au temps, ,
· L’accélération constante, ,
· z(t) a une courbe parabolique, ,
C’est la définition d’un mouvement uniformément accéléré,
Le solide n’est soumis qu’à son poids au cours de son mouvement, alors il est en chute libre.
b- Dans le fluide :
· La vitesse augmente avec le temps et se stabilise ensuite à une valeur limite qu’on note ,
· La courbe de la vitesse et celle de l’accélération montrent l’existence de deux régimes :
Ø Le régime transitoire : le mouvement est rectiligne accéléré, la vitesse augmente et l’accélération diminue,
Ø Le régime permanent : le mouvement est rectiligne uniforme et .
· La courbe de z(t) est composée d’une partie parabolique (pour le R.T) et d’une partie linéaire (pour le R.P).
3- Conclusion :
· Pour la chute dans un fluide, la diminution de l'accélération ne peut être expliquée que par la présence d'une force dont le sens est opposé à celui du mouvement, et dont l'intensité dépend de la valeur de la vitesse du solide,
· Par conséquence, le fluide exerce une force sur le solide au cours de son mouvement.
II- Etude théorique de la Chute libre verticale :
1- L'équation différentielle du mouvement :
On étudie la chute libre verticale d’un solide (S) de masse m dans un référentiel lié à la terre considérée comme galiléen.
Système étudié : {le solide (S)}
Le bilan des forces : seulement son poids , alors
D’après la deuxième loi de Newton, on écrit : donc alors
On remarque que l’accélération ne dépend pas de la masse m.
Par la projection de la relation sur l’axe , on trouve : c’est l’équation différentielle du mouvement. Au cours du mouvement, et alors ; ; et .
Donc et puisque la trajectoire est rectiligne donc le mouvement est rectiligne uniformément varié,
2- Solution des équations différentielles :
a- Equation de la vitesse :
On a donc, par l’intégration on trouve : ,
Alors l’expression de est , sa norme est .
b- Equation horaire de vecteur position :
On a donc, par l’intégration on trouve : ,
Alors l’expression de est ,
sa norme est .
III- Chute verticale avec frottements :
1- Force de frottement fluide :
La force de frottement fluide est une force de contact répartie, appliquée par un fluide sur un corps se déplaçant par rapport à lui. Ses caractéristiques sont les suivantes :
· Origine : le centre d’inertie du solide,
· Direction : c’est la direction de la vitesse ,
· Sens : inverse au sens du mouvement,
· Intensité : avec la valeur de la vitesse du solide et K une constante qui dépend de la nature du fluide, de la forme du solide, de ses dimensions et de l’état de sa surface.
Ø Pour les faibles vitesses : on prend , donc ,
Ø Pour les grandes vitesses : on prend , donc .
2- Poussée d’Archimède :
Tout solide immergé dans un fluide est soumis à l’action d’une force exercée par ce fluide, elle est appelée poussée d’Archimède, notée . Et elle est égale à l’opposé du vecteur poids du volume du fluide déplacé :
.
Avec la masse du fluide déplacé, la masse volumique du fluide et V son volume déplacé.
Ses caractéristiques sont les suivantes :
· Origine : le centre d’inertie du fluide déplacé,
· Direction : Verticale,
· Sens : Vers le haut,
· Intensité : .
3- Etude théorique :
a- Equation différentielle du mouvement :
On considère une bille de masse m complètement immergée dans un fluide :
Le système étudié : {La bille}
Bilan des forces, la bille est soumis à :
Le poids ,
La poussée d’Archimède ,
La force de frottement fluide .
Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère (O, z), En appliquent la deuxième loi de Newton, on écrit :
Alors
Alors
La projection da la relation vectorielle sur l’axe (Oz) : ,
Donc
Alors , on pose et pour écrire l’équation différentielle du mouvement sous la forme : .
b- Grandeurs caractéristiques du mouvement :
La vitesse limite :
Au régime permanant, , donc , alors ,
Donc d’où ,
Remarque :
,
L’accélération initiale :
Par définition avec , alors car .
Temps caractéristique du mouvement :
· La tangente de la courbe à coupe l’asymptote horizontal en un point d’abscisse ,
· Le temps caractéristique donne l’ordre de grandeur de la durée du régime initial .
Graphiquement, , alors .
c- Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler :
La méthode d’Euler est une méthode numérique itérative qui permet de résoudre les équations différentielles en se basant sur l’approximation :
, est de l’ordre de , est appelé pas de calcul.
donc d’où
D’après l’équation di
Application :
L’étude verticale d’une bille, de masse m=35g et de rayon r=2cm, dans un fluide de masse volumique , a permet de tracer la courbe suivante :
On modélise la force de frottement du fluide sur la bille par :
1- Faire le bilan des forces appliquées sur la bille au cours de la chute, puis donner ses expressions, puis ses intensités,
2- Représenter le schéma en précisant un repère convenable pour cette étude,
3- Vérifier que l’équation différentielle du mouvement s’écrit sous la forme : ,
4- Trouver la valeur de vitesse limite, puis préciser la valeur de de A et celle de B,
5- Trouver la valeur de l’accélération au régime permanant, le temps caractéristique du mouvement puis la valeur de l’accélération initiale,
6- Utiliser , comme le pas de calcul de la méthode d’Euler po
