Cours de RL 2 BAC SP SVT SM Biof

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Cours de la physique de :
2-BAC-SP-SVT-SM-Biof

Dipôle RL

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Dipôle RL

Situation problème :

Une nuit, et après avoir terminé votre révision de la leçon" le dipôle RC" avec ton ami, vous avez voulu regarder une chaîne de télévision. Cependant, lors de son allumage, vous avez eu un désaccord sur l'illumination progressive d'une ampoule près d'un des boutons de la télévision. Votre ami a affirmé que le condensateur en était responsable. Comment expliquer à votre ami que le condensateur ne peut pas contribuer à ce phénomène ?

    I.            La bobine :

1-     Définition :

·         Une bobine est constituée d’un enroulement sur un cylindre dans le même sens d’un fil conducteur recouvert d’une matière isolante,

·         On symbolise la bobine par l’un des symboles suivants :

·         r est la résistance interne de la bobine, son unité est (Ω),

·         L est son coefficient d’auto-inductance, il est exprimé en Henry (H).

2-     Influence d’une bobine dans un circuit :

a-      Expérience :

On réalise le montage expérimental ci-contre puis on ferme l’interrupteur k :

b-      Remarques :

·         L₁ brille instantané et L₂ s’allume avec un retard temporel (c’est un phénomène transitoire),

·         Lorsqu’on ouvre l’interrupteur k, on constate que L₁ s’éteint instantanément et L₂ s’éteint progressivement,

·         Au bout d’un temps suffisant, les deux lampes brillent de la même manière (c’est un régime permanant).

c-      Conclusion :

·         La présence d’une bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant dans un circuit électrique,

·         Au régime permanant, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

3-     Expression de la tension aux bornes de la bobine :

a-      Cas d’un courant électrique continu :

Expérience :

On considère le montage électrique suivant :

A l’instant t=0s, on ferme l’interrupteur k et on obtient les résultats suivants :

UL (V)	0	0,8	1,6	2,4	3,2
I(A)	0	0,1	0,2	0,3	0,4

Exploitation : Après avoir tracer la courbe ci-contre, on constate que tel que :  et   Donc  s’exprime en V/A

alors  

Donc  a la dimension d’une résistance r alors

Donc, dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

b-      Cas d’un courant électrique variable :

Expérience :

On réalise le montage électrique suivant : L=0,05H ; R=5KΩ ; GBF généré une tension triangulaire, ;  et :

 Remarques :

·     Selon la loi d’Ohm  alors 

Donc  est proportionnelle à  alors la visualisation de  permet de visualiser ,

·     Sur l’intervalle , la courbe de  a la forme d’une droite,

alors

Telle que  et , Alors  alors A, Alors  

Et d’autre part, Sur l’intervalle ,  Alors  finalement   .

Conclusion :

La tension aux bornes d’une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de résistance interne r parcourue par un courant électrique d’intensité i est donnée par la relation suivante : .

N.B.

·     Si le courant électrique est continu, alors  donc , dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r, c’est le cas du régime permanant,

·     Si la résistance interne de la bobine et négligeable, alors , donc , c’est le cas d’une bobine idéale,

·         La bobine résiste l’établissement ou l’annulation du courant qui la traverse à cause du produit ,

·     Si la variation de  est très rapide, alors  sera très élevé donc on observe un phénomène de surtension.

·         Pour éviter ce phénomène, on insère une diode en parallèle avec la bobine.

II.            Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension :

1-     Dipôle RL :

Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de la résistance interne r.

2-     Etude expérimentale :

a-      Expérience :

On considère le montage électrique suivant : A l’origine des dates (t=0s), on ferme l’interrupteur k, et on obtient la courbe (1), Lorsque l’intensité du courant devient constante, on ouvre l’interrupteur k et on obtient la courbe (2) :

b-      Remarques :

·     Lorsqu'on ferme l'interrupteur, l'intensité   croît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur maximale, (deux régimes observés),

·     Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, l'intensité   décroît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur minimale, (deux régimes observés),

c-      Conclusion :

·      est une fonction de temps continue danc les deux cas,

·         Au régime permanant, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique,

·         La durée de l’établissement ou l'annulation du courant augmente lorsque la valeur de L augmente ou la valeur de R diminue,

·         La durée de l’établissement ou l'annulation du courant ne dépend pas de E

3-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

A un instant qu’on considère comme origine des dates, on ferme l’interrupteur et on trouve :  (1)

Pour la bobine, on a : , D’après la loi d’Ohme, on a :  .

On remplace dans la relation (1), on trouve : , Alors

alors . On pose    et  la résistance totale du circuit,

alors  c’est l’équation différentielle vérifiée par ,

b-      Solution de l’équation différentielle :

La forme générale de la solution de cette équation différentielle est de la forme : , avec A, α et B sont des constantes à déterminer.

Détermination de α et B :

On a  alors  donc . On remplace dans l’équation différentielle et on trouve : . donc

pour que cette relation soit vérifiée , il faut que   car  alors  d’où .

Détermination de A :

D’après l’étude expérimentale, on a   et théoriquement on a  , Alors  donc  

donc  , d’où  alors

constante de temps :

on a  et pour une bobine de  résistance interne négligeable, on a

 alors   donc  et  donc  alors  d’où ,donc la constante τ est homogène à un temps, donc son unité dans (S.I) est le (s).

c-      Conclusion :

L’expression de l’intensité du courant traversant un dipôle RL est :   avec ,

4-   Expression de  lors d’établissement de courant :

 Lors d’établissement du courant, on a

et  pour la bobine on a ,

Donc , Alors

  , d’où

Donc  d’où , et finalement   c’est l’expression de  lors d’établissement de courant dans une bobine.

Remarque :

Si la résistance interne de la bobine est négligeable, alors l’expression de la tension entre ses bornes devient :

  alors   finalement .

5-     Annulation du courant :

a-      Équation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

A un instant qu’on considère comme origine des dates, on ouvre  l’interrupteur k et on trouve : , Pour la bobine, on a : , D’après la loi d’Ohme, on a :  . On remplace dans la relation (1), on trouve :

Alors  alors . On pose    et  la résistance totale du circuit, alors  c’est l’équation différentielle vérifiée par  lors de l’annulation du courant,

b-      Solution de l’équation différentielle :

La forme générale de la solution de cette équation différentielle est : , avec A, α et B sont des constantes à déterminer :

Détermination de α et B :

On a  alors  donc , On remplace dans l’équation

différentielle et on trouve : , donc

pour que cette relation soit vérifiée , il faut que   car  alors alors .

Détermination de A :

D’après l’étude expérimentale, on a   

et théoriquement on a   donc  alors  

Conclusion :

L’expression de l’intensité du courant traversant un dipôle RL est :   avec ,

c-   Expression de  lors de l’annulation de courant :

 Lors de l’annulation du courant, on a

et  pour la bobine on a

Donc

Alors  

d’où

Donc  d’où  

et finalement c’est l’expression de  lors de l’annulation de courant dans une bobine.

Remarque :

Si la résistance interne de la bobine est négligeable, alors l’expression de la tension entre ses bornes devient :

  finalement .

III.             Energie emmagasinée dans une bobine :

1-     Mise en évidence :

On réalise l’expérience représentée par le circuit électrique suivant :

2-     Remarques

Lorsque nous ouvrons l’interrupteur k, nous remarquons que la diode électriquement lumineuse s'allume pendant une courte période, nous concluons donc que la bobine stocke de l'énergie.

3-     L’expression de l’énergie emmagasinée dans une bobine :

L’équation différentielle vérifiée par les tensions du circuit ci-dessus est ,

Alors pour le puissances, on a :

Donc pour les énergies, on a :  alors , Alors

·      c’est l’expression de l’énergie fournie par le générateur au cours de ,

·      c’est l’expression de l’énergie disspée par l’effet de joule au cours de ,

·      c’est l’expression de l’énergie emmagasinée dans la bobine  au cours de ,

Conclusion :

L’expression de l’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine de coefficient d’auto-inductance L parcourue par un courant d’intensité  est donnée par la relaion suivante :

Dipôle RC

      I-            Condensateur :

1-     Définition et symbole :

Un condensateur est constitué de deux conducteurs en regard appelés armatures séparés par un isolant qu'on appelle diélectrique (isolant).

On symbolise le condensateur par le symbole suivant :

2-     Charge de condensateur q(t) et intensité du courant i(t) :

a-      La charge du condensateur :

On considère le montage électrique suivant :

b-      Interprétation :

 Lorsque on ferme l’interrupteur, les électrons se déplacement de l'armature A vers l'armature B du condensateur, et à cause de l'existence du diélectrique entre les armatures, les électrons s'accumulent sur l'armature B, alors sa charge est q_B<0.

Et l 'armature A perd le même nombre d'électrons gagnés par l'armature B, alors sa charge est q_A>0

Avec q_A=-q_B=q>0 Et le condensateur devient chargé, sa charge est q=q_A>0.

Finalement la charge "q" du condensateur est la valeur absolue de la quantité d'électricité que porte chaque armature. q=q_A=-q_B

c-      Intensité du courant :

Par définition, l’intensité du courant traversant un conducteur est la variation de la charge q au cours du temps.

En adoptant la convention réceptrice pour ce dipôle, on obtient :  et   pour un courant continu.

Remarques : on oriente le circuit pour algébriser l’intensité du courant :

·      : le courant circule dans le sens d’orientation choisi,

·      : le courant circule dans l’autre sens,

3-     Capacité du condensateur :

a-      Activité :

On considère le montage électrique suivant, le générateur de courant continu (générateur idéal) débitant un courant de l’intensité constante I₀ réglable :

b-       Remarques :

On mesure à chaque 5s la tension aux bornes de condensateur et on obtient les résultats suivants :

c-      Interprétation :

On remarque que , alors    

Avec  donc  alors

d-      Conclusion :

A chaque instant t, la charge électrique q_A de l’armature du condensateur est proportionnelle à la tension u_AB aux bornes de ses armatures A et B, alors on écrit :

C : est la capacité du condensateur, elle s’exprime en Farad (F).

On utilise également les sous-multiples de Farad comme : ; ; ;…

  II-            Association des condensateurs :

1-     Association en série :

a-      Activité :

Soient deux condensateurs de capacités C1 et C2 montés en série et soit C_éq la capacité du condensateur équivalent :

D’après la loi d’additivité des tensions : , et on a  (même courant)

et  ;  et

Et    Alors

b-      Généralité :

La capacité équivalente à un ensemble des condensateurs montés en série des capacités C₁ ; C₂ ; … ; C_n est

 vérifiée la relation suivante : 

c-      Intérêt :

Ce montage permet d'obtenir un condensateur de petite capacité et capable de supporter une tension plus élevée que celle supportée par chaque condensateur.

2-     Association en parallèle :

a-      Activité :

On monte deux condensateurs des capacités C₁ et C₂ en parallèle :

D’après la loi des nœuds,

on a :

Avec  

alors

b-      Généralité :

La capacité C_éq du condensateur équivalent à un ensemble de condensateurs de capacités C₁ ; C₂ ;…et C_n, montés en parallèle est donnée par la relation suivant : .

c-      Intérêt :

Ce montage est utilisé pour augmenter la capacité et stocker une grande charge en utilisant des condensateurs de petites capacités,

III-            Réponse d’un dipôle RC à un échelon montant de tension :

1-     Etude expérimentale de la charge d'un condensateur :

a-      Echelon de tension :

On dit qu'un dipôle est soumis à un échelon montant de tension, si la tension entre ses bornes varie instantanément d'une valeur nulle à une valeur constante E positive.

b-      Dipôle RC :

Le dipôle RC est constitué d'un conducteur ohmique de résistance R monté en série avec un condensateur de capacité C.

c-      Charge d'un condensateur :

Expérience :

·         On réalise le montage électrique suivant :

·         On ferme l’intercepteur k à un instant t=0s, et on obtient la courbe suivante :

Les résultats :

·         On observe un régime transitoire qui correspond à la charge de condensateur et un régime permanant lorsque le condensateur est totalement chargé,

·         La durée de la charge du condensateur d’un dipôle (R,C) augmente quand la valeur du produit R.C augmente,

·     On constate que ,

·     La tension  est une fonction continue.

Conclusion :

Le condensateur d’un dipôle (R,C), soumis à un échelon de tension montant, ne se charge pas instantanément, donc la charge d’un condensateur est un phénomène transitoire.

2-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle :

On considère le montage électrique précèdent :

D’après la loi d’additivité des tension on a , (1)

D’après la loi d’Ohm pour le conducteur ohmique on a  

Pour le condensateur, on a :  et  alors

On remplace dans l’équation (1) et on trouve :  Alors  

C'est l'équation différentielle que vérifie la tension aux bornes du condensateur durant la charge.

b-      Solution de l’équation différentielle :

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme  ou A, α et B sont des constantes à déterminer.

Détermination de α et B :

 , on remplace dans l’équation et on trouve

 

Alors   

Pour que cette équation soit vérifiée , il faut que  Alors

Détermination de A :

Aux conditions initiales, on remarque que  à

Alors

Finalement

Constante de temps de dipôle RC :

On pose , la constante de temps de dipôle RC, et on écrit : .

Dimensionne de :

Pour le condensateur, on a

Pour le conducteur ohmique, on a  

Alors ,

Alors la constante de temps τ du dipôle RC homogène à une durée et elle s’exprime en seconde (s).

c-      Détermination de la constante de temps :

Méthode 1 : méthode numérique : ,

Méthode 2 : graphiquement, la tangente à la courbe à t = 0, coupe l’asymptote

u = E au point d’abscisse τ.

Méthode 3 : graphiquement, .

3-   Expression de :

Pour le condensateur, on a  et  

alors  avec

Alors

Donc    alors . Avec

IV-            Réponse d’un dipôle RC à un échelon descendant de tension

1-     Etude expérimentale de la décharge d'un condensateur :

a-      Expérience :

On réalise le montage suivant :

Lorsque le condensateur est totalement chargé, on bascule l’interrupteur k à la position (2), et on obtient les courbes suivantes :

b-      Remarques :

·         Donc la décharge du condensateur n’est pas instantanée,

·         La tension aux bornes du condensateur est une fonction de temps décroissante et continue et tendre vers zéro,

·         Lors de cette décharge, on constate deux régimes (régime transitoire et régime permanant),

2-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

Après avoir complètement chargé le condensateur, on bascule l’interrupteur vers la position (2) au moment qu’on considère comme l’origine des dates, on trouve :

D’après la loi d’additivité des tension on a , (1)

D’après la loi d’Ohm pour le conducteur ohmique on a  

Pour le condensateur, on a :  et  

alors

On remplace dans l’équation (1) et on trouve :

Alors  

C'est l'équation différentielle que vérifie la tension aux bornes du condensateur durant la décharge.

b-      Solution de l’équation différentielle :

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme  ou A, α et B sont des constantes à déterminer.

Détermination de α et B :

 , on remplace dans l’équation différentielle et on trouve

 

Alors   

Pour que cette équation soit vérifiée , il faut que  

Alors

Détermination de A :

Aux conditions initiales, on remarque que  à

Alors

Finalement  / avec .

c-      Détermination de la constante de temps :

Méthode 1 : méthode numérique : ,

Méthode 2 : graphiquement, la tangente à la courbe à t = 0, coupe des dates à .

Méthode 3 : graphiquement, .

d-   Expression de lors de la décharge :

Pour le condensateur, on a  et  

alors  avec

Alors

alors . Avec .

e-      Influence de R C et E sur la durée de la charge et de la décharge d’un condensateur :

·         La durée de la charge/décharge d’un condensateur dépend de R et C (dépend de τ), elle ne dépend pas de E,

·         Plus R est élevée, plus le courant i qui circule à travers la résistance est faible. En conséquence le débit de charge/décharge est plus faible et donc il faut plus de temps pour charger/décharger le condensateur.

·         Plus C est élevée plus la charge Q est élevée et donc plus le nombre de charges portées par une armature est élevé : il faut plus de temps pour charger/décharger le condensateur.

   V-            Energie stockée (emmagasinée) dans un condensateur :

1-     Mise en évidence :

a-      Expérience :

On réalise le montage suivant :

On bascule l'interrupteur K à la position (1) et on le laisse un temps suffisant pour que le condensateur soit chargé puis on le bascule à la position (2) :

b-      Remarques :

On constate que le moteur fonctionne et le corps (S) suspendu au fil monte d'une hauteur h.

La montée du corps et sa réception d’une énergie de potentielle s'explique par l'existence de l'énergie électrique qui a été reçue par le condensateur pendant la charge.

c-      Conclusion :

Le condensateur peut emmagasiner l'énergie électrique pour la restituer au moment du besoin.

2-     Expression de l’énergie emmagasinée dans un condensateur :

Soit Ee l'énergie électrique emmagasinée dans un condensateur :

La puissance est  alors  et

Alors  c.-à-d.  Finalement : .

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Exercice d’application 1 :

On considère le circuit électrique suivant qui comporte un condensateur (A) de capacité C₁ et un autre condensateur (B) de capacité C₂ :

1-      Après avoir chargé le condensateur (A) totalement :

a-      Calculer Q la charge électrique du condensateur (A),

b-      Calculer E_e1 énergie électrique stockée dans le condensateur, 

2-      On bascule l’interrupteur vers la position (2), soient Q₁ et Q₂ les charges des deux condensateurs à l’équilibre :

a-      Donner l’expression de Q₁ et celle de Q₂ en fonction de Q, C₁ et C₂, puis calculer Q₁ et Q₂,

b-      Déduire les valeurs numériques des tensions  et .

On donne :  et

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Exercice d’application 2 :

On monte, en série, un générateur idéal de tension de f.e.m est E=6V, un conducteur ohmique de résistance R=50Ω ; un interrupteur k et un condensateur de capacité C=10µF.

A un instant qu’on considère comme l’origine des dates, on ferme l’interrupteur k :

1-      Donner le schéma de montage,

2-   Etablir l’équation différentielle vérifiée par  la tension aux bornes du condensateur,

3-   La solution de cette équation différentielle est de la forme :

a-      Déterminer des constantes x, y et z en fonction des paramètres du circuit,

b-   Etablir l’expression de la tension ,

c-   Déduire l’expression de ; de  ; et celle de  au régime transitoire, puis au régime transitoire,

4-      Calculer τ la constante de temps de ce dipôle RC

5-      Si on remplace le condensateur par un autre condensateur de capacité C₁>C, alors τ₁=0,25ms ou τ₁=0,75ms?

6-      Calculer la valeur de C₁,

7-      Maintenant on règle la force électromotrice du générateur sur la valeur E’=10V, alors τ augmente ou diminue ?

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Exercice d’application 3 :

On réalise le montage électrique suivant :

A l’instant t=0s, on ferme l’interrupteur K, on obtient l’oscillogramme suivant sur l’écran de l’oscilloscope :

1-      Déduire la valeur de la force électromotrice du générateur utilisé,

2-      Déterminer la valeur de τ la constante de temps du dipôle RC,

3-      Calculer C la valeur de la capacité du condensateur, sachant que

,

4-      Déduire la valeur de R la résistance du conducteur ohmique,

5-   Etablir l’équation différentielle vérifiée par , puis exprimer ,

6-   Déduire l’expression de l’intensité du courant ,

7-      Proposer la valeur de C₂ la capacité d’un condensateur qu’on monte avec le condensateur utilisé pour avoir une constant de temps du dipôle RC de la valeur , quelle est le type d’association des deux condensateurs alors ?

8-      Calculer la valeur de  la capacité du condensateur équivalent,

9-   Etablir l’équation différentielle vérifiée par  la charge électrique du condensateur équivalent,

10- Déduire l’expression de  au régime transitoire, puis donner sa valeur au régime permanent.