Cours de RLC Libre 2 BAC SP SVT SM Biof

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Cours de la physique de :
2-BAC-SP-SVT-SM-Biof

Dipôle RLC Libre

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Oscillations libres dans un circuit RLC série

      I-            Décharge d’un condensateur dans une bobine :

1-     Etude expérimentale :

a-      Activité :

On considère le montage électrique suivant :

On donne Après avoir chargé totalement le condensateur, on bascule l’interrupteur K vers la position (2), pour obtenir un circuit  série et libre, et à l’aide d’un oscilloscope, on obtient la courbe ci-contre :

b-      Remarques et conclusion :

·         Lorsqu’on bascule l’interrupteur k vers la position (2), le condensateur se décharge dans la bobine,

·     L’amplitude de la tension  décroît alternativement au cours du temps, on dit que les oscillations sont amorties,

·         Le circuit RLC ne comporte pas de générateur : les oscillations sont dites libres,

·     Pour les courbes (1 et 2), la pseudo-période , alors elle ne dépend pas de la résistance R,

·     La pseudo-période  augmente avec l’augmentation de C la capacité du condensateur ou l’augmentation de L le coefficient de l’auto-inductance de la bobine,

·         L’amortissement est due au fait qu'une partie de l'énergie électrique se perd sous forme de chaleur au niveau de la résistance du circuit par effet Joule.

2-     Régimes d’oscillations libre d’un circuit RLC série :

Selon la valeur de la résistance totale du circuit, on distingue trois régimes :

a-      Régime périodique :

·     Lorsque la résistance totale du circuit est nulle  les oscillations sont libres et non amorties, l’amplitude de la tension est constante (, dans ce cas ,

·         Ce régime est caractérisé par sa période propre , elle dépend de L et C,

·         La valeur de  dans ce cas est ,

b-      Régime pseudo-périodique :

·         Lorsque la résistance totale du circuit est faible, les oscillations sont libres et amorties et leur amplitude diminue jusqu'à ce qu'il s'annule.

·         Cas de l'amortissement faible,

·         Ce régime est caractérisé par sa pseudo-période, pratiquement : .

·     Dans cet exemple : , elle dépend de L et C et ne dépend pas de R,

c-      Régime apériodique :

·         Lorsque  est très grande, le condensateur perd sa charge sans oscillations,

·         Cas de l'amortissement fort,

3-     Équation différentielle d’un circuit RLC série :

On considère le montage ci-contre :

Remarque :

Le terme  est la grandeur qui traduit l’amortissement des oscillations électriques, en absence de ce terme, les oscillations deviennent périodique sinusoïdales.

  II-            Oscillations non amorties dans un circuit LC idéal :

1-     Etude analytique d’un circuit LC idéal :

a-      Equation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

La résistance interne de la bobine est nulle (une bobine idéale),

Le condensateur est initialement chargé par un générateur de f.e.m E=6V,

Les équations différentielles vérifiées par 

Alors la période propre s’exprime en seconde (s),

2-     Expression de i(t) et celle de q(t) :

III-            Transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine :

1-     Le circuit LC idéal :

a-      Expression de l'énergie totale d’un circuit LC :

·         Lors d'oscillations non amorties, l'énergie électrique dans le condenseur se transforme en énergie magnétique dans la bobine et vice versa.

·     Alors l’expression de l’énergie totale du circuit LC est : ,

·     On a  à démontrer,

Alors l’énergie totale d'un circuit LC idéal est conserve et égale à l'énergie initiale emmagasinée dans le condensateur,

b-      Conclusion :

·         Lorsque l’énergie emmagasinée dans le condensateur diminue, l’énergie de la bobine augment et vice versa, Donc il y a un échange d’énergie entre le condensateur et la bobine au cours d’une période  avec  est la période propre des oscillations.

Application 1 : on considère les courbes ci-contre : (on donne L=0,2H)

a-      Donner l’énergie que représente chaque courbe,

b-      Trouver la valeur de l’énergie totale de circuit,

c-      Déduire l’énergie électrique et l’énergie magnétique à t=2,2ms,

d-      Calculer la valeur de C, puis calculer la valeur de f.é.m E et celle de I_max.

2-     Energie du circuit RLC libre :

·         L’expression de l’énergie totale du circuit RLC est :

,

·     On a  à démontrer,

Conclusion :

 L'énergie totale du circuit RLC décroit en fonction du temps et les oscillations sont amorties à cause de la perte de l'énergie électrique par effet joule (transfert thermique) au niveau de la résistance.

Application 2 : on considère les courbes ci-contre : (on donne E=10V)

a-      Attribuer à chaque courbe l’énergie correspondant,

b-      Déduire la valeur de l’énergie emmagasinée dans le condensateur initialement,

c-      Calculer la variation de l’énergie totale entre deux instants t₁=2ms et t₂=4ms,

d-      Déduire la valeur de l’énergie dissipée par effet Joule entre t₁ et t₂,

e-   Trouver la valeur de pseudo-période , puis calculer C et L.

IV-            Entretien des oscillations :

1-     Objectif :

Pour entretenir les oscillations d’un circuit RLC libre, il faut apporter au circuit la même quantité d’énergie qui a été perdue. C’est le rôle du dispositif d’entretien.

2-     Montage d’entretien :

Remarque :

On a, d’unConclusion :

·     Le montage d’entretien est un dispositif qui fournit au circuit une tension  proportionnelle à l’intensité du courant :

,

·         Il se comporte comme un conducteur ohmique de résistance négative.

3-     Equation différentielle :

L’équation différentielle est : 

Alors si R_T=R₀ l’équation différentielle devient :  ,

On retrouve une équation différentielle identique à celle d’un circuit LC idéal, donc les oscillations sont entretenues (sont sinusoïdales) d’amplitude constante et d’une période propre  .

Conclusion :

·         On peut entretenir les oscillations d’un circuit RLC série pour obtenir une tension oscillante d’amplitude constante en utilisant un dispositif qui compense l’énergie dissipée par effet joule au niveau des résistances.

·     A base d’un montage d’entretien, on peut créer une tension sinusoïdale de période  à partir d’un circuit RLC série.

Application 3 :

On réalise un circuit LC en associant une bobine de coefficient d’auto-inductance  Avec un condensateur de capacité C chargé totalement par un générateur de tension de force électromotrice E₀, et on obtient la courbe ci-contre :

1-      Donner le schéma du montage,

2-   Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension  entre les bornes du condensateur,

3-   La solution de cette équation différentielle est de la forme :

a-      Trouver la valeur de  et calculer la valeur de ,

b-      Etablir l’expression de , puis trouver sa valeur graphiquement,

4-   Trouver la valeur de la capacité C du condensateur. (On prend ),

5-      Trouver l’énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine à l’instant t₁=1,8ms,

6-      Trouver la valeur de l’intensité du courant à t₂=1,5ms.

Dipôle RL

Situation problème :

Une nuit, et après avoir terminé votre révision de la leçon" le dipôle RC" avec ton ami, vous avez voulu regarder une chaîne de télévision. Cependant, lors de son allumage, vous avez eu un désaccord sur l'illumination progressive d'une ampoule près d'un des boutons de la télévision. Votre ami a affirmé que le condensateur en était responsable. Comment expliquer à votre ami que le condensateur ne peut pas contribuer à ce phénomène ?

    I.            La bobine :

1-     Définition :

·         Une bobine est constituée d’un enroulement sur un cylindre dans le même sens d’un fil conducteur recouvert d’une matière isolante,

·         On symbolise la bobine par l’un des symboles suivants :

·         r est la résistance interne de la bobine, son unité est (Ω),

·         L est son coefficient d’auto-inductance, il est exprimé en Henry (H).

2-     Influence d’une bobine dans un circuit :

a-      Expérience :

On réalise le montage expérimental ci-contre puis on ferme l’interrupteur k :

b-      Remarques :

·         L₁ brille instantané et L₂ s’allume avec un retard temporel (c’est un phénomène transitoire),

·         Lorsqu’on ouvre l’interrupteur k, on constate que L₁ s’éteint instantanément et L₂ s’éteint progressivement,

·         Au bout d’un temps suffisant, les deux lampes brillent de la même manière (c’est un régime permanant).

c-      Conclusion :

·         La présence d’une bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant dans un circuit électrique,

·         Au régime permanant, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

3-     Expression de la tension aux bornes de la bobine :

a-      Cas d’un courant électrique continu :

Expérience :

On considère le montage électrique suivant :

A l’instant t=0s, on ferme l’interrupteur k et on obtient les résultats suivants :

Exploitation :

 Après avoir tracer la courbe ci-contre, on constate que tel que :  et   Donc  s’exprime en V/A

alors  

Donc  a la dimension d’une résistance r alors

Donc, dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

b-      Cas d’un courant électrique variable :

Expérience :

On réalise le montage électrique suivant : L=0,05H ; R=5KΩ ; GBF généré une tension triangulaire, ;  et :

 Remarques :

·     Selon la loi d’Ohm  alors 

Donc  est proportionnelle à  alors la visualisation de  permet de visualiser ,

·     Sur l’intervalle , la courbe de  a la forme d’une droite,

alors

Telle que  et , Alors  alors A, Alors  

Et d’autre part, Sur l’intervalle ,  Alors  finalement   .

Conclusion :

La tension aux bornes d’une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de résistance interne r parcourue par un courant électrique d’intensité i est donnée par la relation suivante : .

N.B.

·     Si le courant électrique est continu, alors  donc , dans ce cas, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r, c’est le cas du régime permanant,

·     Si la résistance interne de la bobine et négligeable, alors , donc , c’est le cas d’une bobine idéale,

·         La bobine résiste l’établissement ou l’annulation du courant qui la traverse à cause du produit ,

·     Si la variation de  est très rapide, alors  sera très élevé donc on observe un phénomène de surtension.

·         Pour éviter ce phénomène, on insère une diode en parallèle avec la bobine.

II.            Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension :

1-     Dipôle RL :

Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et une bobine de coefficient d’auto-inductance L et de la résistance interne r.

2-     Etude expérimentale :

a-      Expérience :

On considère le montage électrique suivant : A l’origine des dates (t=0s), on ferme l’interrupteur k, et on obtient la courbe (1), Lorsque l’intensité du courant devient constante, on ouvre l’interrupteur k et on obtient la courbe (2) :

b-      Remarques :

·     Lorsqu'on ferme l'interrupteur, l'intensité   croît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur maximale, (deux régimes observés),

·     Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, l'intensité   décroît progressivement de manière exponentielle jusqu'à une valeur minimale, (deux régimes observés),

c-      Conclusion :

·      est une fonction de temps continue danc les deux cas,

·         Au régime permanant, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique,

·         La durée de l’établissement ou l'annulation du courant augmente lorsque la valeur de L augmente ou la valeur de R diminue,

·         La durée de l’établissement ou l'annulation du courant ne dépend pas de E

3-     Etude théorique :

a-      Equation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

A un instant qu’on considère comme origine des dates, on ferme l’interrupteur et on trouve :  (1)

Pour la bobine, on a : , D’après la loi d’Ohme, on a :  .

On remplace dans la relation (1), on trouve : , Alors

alors . On pose    et  la résistance totale du circuit,

alors  c’est l’équation différentielle vérifiée par ,

b-      Solution de l’équation différentielle :

La forme générale de la solution de cette équation différentielle est de la forme : , avec A, α et B sont des constantes à déterminer.

Détermination de α et B :

On a  alors  donc . On remplace dans l’équation différentielle et on trouve : . donc

pour que cette relation soit vérifiée , il faut que   car  alors  d’où .

Détermination de A :

D’après l’étude expérimentale, on a   et théoriquement on a  , Alors  donc  

donc  , d’où  alors

constante de temps :

on a  et pour une bobine de  résistance interne négligeable, on a

 alors   donc  et  donc  alors  d’où ,donc la constante τ est homogène à un temps, donc son unité dans (S.I) est le (s).

c-      Conclusion :

L’expression de l’intensité du courant traversant un dipôle RL est :   avec ,

4-   Expression de  lors d’établissement de courant :

 Lors d’établissement du courant, on a

et  pour la bobine on a ,

Donc , Alors

  , d’où

Donc  d’où , et finalement   c’est l’expression de  lors d’établissement de courant dans une bobine.

Remarque :

Si la résistance interne de la bobine est négligeable, alors l’expression de la tension entre ses bornes devient :

  alors   finalement .

5-     Annulation du courant :

a-      Équation différentielle :

On considère le montage électrique suivant :

A un instant qu’on considère comme origine des dates, on ouvre  l’interrupteur k et on trouve : , Pour la bobine, on a : , D’après la loi d’Ohme, on a :  . On remplace dans la relation (1), on trouve :

Alors  alors . On pose    et  la résistance totale du circuit, alors  c’est l’équation différentielle vérifiée par  lors de l’annulation du courant,

b-      Solution de l’équation différentielle :

La forme générale de la solution de cette équation différentielle est : , avec A, α et B sont des constantes à déterminer :

Détermination de α et B :

On a  alors  donc , On remplace dans l’équation

différentielle et on trouve : , donc

pour que cette relation soit vérifiée , il faut que   car  alors alors .

Détermination de A :

D’après l’étude expérimentale, on a   

et théoriquement on a   donc  alors  

Conclusion :

L’expression de l’intensité du courant traversant un dipôle RL est :   avec ,

c-   Expression de  lors de l’annulation de courant :

 Lors de l’annulation du courant, on a

et  pour la bobine on a

Donc

Alors  

d’où

Donc  d’où  

et finalement c’est l’expression de  lors de l’annulation de courant dans une bobine.

Remarque :

Si la résistance interne de la bobine est négligeable, alors l’expression de la tension entre ses bornes devient :

  finalement .

III.             Energie emmagasinée dans une bobine :

1-     Mise en évidence :

On réalise l’expérience représentée par le circuit électrique suivant :

2-     Remarques

Lorsque nous ouvrons l’interrupteur k, nous remarquons que la diode électriquement lumineuse s'allume pendant une courte période, nous concluons donc que la bobine stocke de l'énergie.

3-     L’expression de l’énergie emmagasinée dans une bobine :

L’équation différentielle vérifiée par les tensions du circuit ci-dessus est ,

Alors pour le puissances, on a :

Donc pour les énergies, on a :  alors , Alors

·      c’est l’expression de l’énergie fournie par le générateur au cours de ,

·      c’est l’expression de l’énergie disspée par l’effet de joule au cours de ,

·      c’est l’expression de l’énergie emmagasinée dans la bobine  au cours de ,

Conclusion :

L’expression de l’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine de coefficient d’auto-inductance L parcourue par un courant d’intensité  est donnée par la relaion suivante :