Gravitation Universelle – TCS Biof

Gravitation Universelle

Physique – Tronc Commun Sciences (TCS Biof)

4 heures

I. L'attraction gravitationnelle

1- Activité

Contexte historique

Newton expliqua la chute des corps sur la Terre, le mouvement de la Lune autour de la Terre et le mouvement des planètes du système solaire autour du Soleil comme le résultat d'un même phénomène : l'attraction universelle.

🍎 Pourquoi la pomme tombe, alors que la Lune ne tombe pas sur la Terre ?

Compléter le document suivant :

Deux corps matériels A et B, de masses \(m_A\) et \(m_B\), séparés par une distance \(d\), exercent l'un sur l'autre des forces d'interactions gravitationnelles attractives \(\vec{F}_{A/B}\) et \(\vec{F}_{B/A}\) ayant :

Même droite d'action (AB),
Des sens opposés : \(\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}\),
Même intensité (ou valeur) : \[F_{A/B} = F_{B/A} = F = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2}\]

G : la constante de gravitation universelle :

G = 6,67 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻² (ou N·m²·kg⁻²)

2- Énoncé de la loi (La gravitation universelle)

La gravitation universelle est un phénomène selon lequel tous les corps matériels s'attirent réciproquement de façon proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance, par des forces d'intensités :

\[F_{A/B} = F_{B/A} = F = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2}\]

📝 Application 1

a- Déterminer les caractéristiques des forces d'attraction universelle qui s'exercent entre la Terre et un corps ponctuel A de masse \(m_A = 70\,\text{kg}\) situé sur la surface de la Terre.

b- Représenter les deux forces à une échelle adaptée.

Données : \(M_T = 5{,}98 \times 10^{24}\,\text{kg}\) | \(R_T = 6400\,\text{km}\)

3- Poids d'un corps

a- Définition

Le poids d'un corps de masse \(m\) est la force d'attraction universelle qu'il subit lorsqu'il est situé au voisinage de la Terre, appliquée par la Terre, notée \(\vec{P}\).

b- Caractéristiques du poids d'un corps S

Point d'application : Le point G, centre de gravité de l'objet S,
Droite d'action : droite passant par le centre du corps et le centre de la Terre,
Sens : dirigé vers le centre de la Terre (du haut vers le bas),
Intensité : \(P = m \cdot g\),

Si on néglige la rotation de la Terre sur elle-même, on peut dire que \(\vec{P} \approx \vec{F}_{T/S}\).

c- Expression de la pesanteur g à une hauteur h de la surface de la Terre

On sait que \(P = F_{T/S}\) et \(P = m \cdot g\) et \(F_{T/S} = G \cdot \dfrac{M_T \cdot m}{(R_T + h)^2}\)

Donc \(m \cdot g = G \cdot \dfrac{M_T \cdot m}{(R_T + h)^2}\)

D'où l'intensité de la pesanteur à une altitude \(h\) :

\[g_h = \frac{G \cdot M_T}{(R_T + h)^2} \tag{1}\]

À la surface de la Terre (\(h = 0\)) :

\[g_0 = \frac{G \cdot M_T}{R_T^2} \tag{2}\]

En combinant (1) et (2) :

\[\frac{g_h}{g_0} = \frac{R_T^2}{(R_T + h)^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{g_h = g_0 \cdot \left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2}\]

\(g_h\) : intensité de la pesanteur à l'altitude \(h\) | \(g_0\) : intensité à la surface de la Terre.

📝 Application 2

Calculer l'intensité du champ gravitationnel \(g_L\) de la Lune en un point situé sur sa surface.
Déduire la valeur de l'intensité du poids d'un homme de masse 70 kg se trouvant sur la Lune.
Calculer l'intensité du poids de cet homme à une hauteur de \(h = 10\,\text{km}\) de la surface de la Lune.

Données : \(R_L = 1730\,\text{km}\) | \(M_L = 7{,}35 \times 10^{22}\,\text{kg}\) | \(G = 6{,}67 \times 10^{-11}\,\text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}\)

II. L'échelle des longueurs de l'univers

1- Écriture scientifique et ordre de grandeur

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche dans la notation scientifique \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\) :

Si \(1 \leq a < 5\) alors l'ordre de grandeur est \(10^n\)
Si \(5 \leq a < 10\) alors l'ordre de grandeur est \(10^{n+1}\)

📝 Application 3 – Multiples et sous-multiples du mètre

Sous-multiples						Mètre	Multiples
Préfixe	atto	femto	pico	nano	micro	milli	kilo	Méga	Géga	Téra	Péta	Exa
Symbole	a	f	p	n	µ	m	k	M	G	T	P	E
Facteur	10⁻¹⁸	10⁻¹⁵	10⁻¹²	10⁻⁹	10⁻⁶	10⁻³	10³	10⁶	10⁹	10¹²	10¹⁵	10¹⁸

Compléter le tableau suivant :

Grandeur	Écriture scientifique (m)	Ordre de grandeur (m)
\(d_1 = 53 \times 10^{-12}\,\text{m}\)	…	…
\(d_2 = 29 \times 10^{-9}\,\text{m}\)	…	…
\(d_3 = 1730\,\text{km}\)	…	…
\(d_4 = 64000\,\text{km}\)	…	…
\(d_5 = 4{,}870\,\text{m}\)	…	…
\(d_6 = 5{,}400\,\text{m}\)	…	…
\(d_7 = 0{,}00078\,\text{m}\)	…	…
\(d_8 = 0{,}00029\,\text{m}\)	…	…

2- L'échelle de longueur

Placer ces ordres de grandeurs sur l'échelle des longueurs :

10⁻¹⁸

10⁻¹⁶

10⁻¹⁴

10⁻¹²

10⁻¹⁰

10⁻⁸

10⁻⁶

10⁻⁴

10⁻²

10⁰

10²

10⁴

10⁶

10⁸

10¹⁰

10¹²

10¹⁴

10¹⁶

x (m)

3- Unités utilisées en astronomie

Unité Astronomique (U.A) : distance moyenne entre le centre de la Terre et le centre du Soleil.

1 U.A = 1,5 × 10⁸ km

Année Lumière (A.L) : distance parcourue par la lumière au cours d'une année avec la vitesse de propagation \(c = 3 \times 10^8\,\text{m/s}\) dans le vide.

1 A.L = 9,5 × 10¹⁵ m

📝 Application 4 – La planète Mars

Sachant que la masse de la planète Mars est \(M_m = 6{,}6 \times 10^{23}\,\text{kg}\) et que son rayon est \(R_m = 3400\,\text{km}\) :

Calculer l'intensité du champ de la gravitation \(g_m\) à la surface de la planète Mars.
Calculer l'intensité du poids d'une personne A de masse \(m = 65\,\text{kg}\) se trouvant sur la planète Mars.
Représenter sur un schéma le vecteur force du poids de cette personne.
Déduire la valeur de l'intensité de la force d'attraction universelle exercée par cette personne sur la planète.
Représenter cette force sur le schéma précédent.

Corrections des applications

✅ Correction – Application 1

a- Les forces qui s'exercent entre la Terre et le corps A :

\(\vec{F}_{A/T}\) : force d'attraction appliquée par le corps A sur la Terre,
\(\vec{F}_{T/A}\) : force d'attraction appliquée par la Terre sur le corps A.

	Point d'application	Droite d'action	Sens	Intensité
\(\vec{F}_{A/T}\)	G : centre de gravité de la Terre	La droite (AG)	De G vers A	681,67 N
\(\vec{F}_{T/A}\)	A : lui-même	La droite (AG)	De A vers G	681,67 N

Calcul :

\[F = \frac{G \cdot M_T \cdot m_A}{R_T^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24} \times 70}{(6400 \times 10^3)^2} \approx \mathbf{681{,}67\,N}\]

✅ Correction – Application 2

1- Intensité du champ gravitationnel de la Lune :

\[g_L = \frac{G \times M_L}{R_L^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(1730 \times 10^3)^2} \approx \mathbf{1{,}64\,N/kg}\]

2- Poids d'un homme de 70 kg sur la Lune :

\[P = m \cdot g_L = 70 \times 1{,}64 = \mathbf{114{,}8\,N}\]

✅ Correction – Application 3

Grandeur	Écriture scientifique (m)	Ordre de grandeur (m)
\(d_1 = 53 \times 10^{-12}\,\text{m}\)	\(5{,}3 \times 10^{-11}\,\text{m}\)	\(10^{-10}\)
\(d_2 = 29 \times 10^{-9}\,\text{m}\)	\(2{,}9 \times 10^{-8}\,\text{m}\)	\(10^{-8}\)
\(d_3 = 1730\,\text{km}\)	\(1{,}73 \times 10^{6}\,\text{m}\)	\(10^{6}\)
\(d_4 = 64000\,\text{km}\)	\(6{,}4 \times 10^{7}\,\text{m}\)	\(10^{8}\)
\(d_5 = 4{,}870\,\text{m}\)	\(4{,}870\,\text{m}\)	\(10^0 = 1\)
\(d_6 = 5{,}400\,\text{m}\)	\(5{,}400\,\text{m}\)	\(10^1 = 10\)
\(d_7 = 0{,}00078\,\text{m}\)	\(7{,}8 \times 10^{-4}\,\text{m}\)	\(10^{-3}\)
\(d_8 = 0{,}00029\,\text{m}\)	\(2{,}9 \times 10^{-4}\,\text{m}\)	\(10^{-4}\)

✅ Correction – Application 4

1- Champ gravitationnel à la surface de Mars :

\[g_m = G \cdot \frac{M_m}{R_m^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{6{,}6 \times 10^{23}}{(3400 \times 10^3)^2} \approx \mathbf{3{,}808\,N/kg}\]

2- Poids d'une personne de 65 kg sur Mars :

\[P = m \cdot g_m = 65 \times 3{,}808 \approx \mathbf{247{,}52\,N}\]

3 & 5- Représentation des forces :

4- Par la 3ème loi de Newton (action-réaction) :

\[F_{P/M} = P = \mathbf{247{,}52\,N}\]

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