Mouvement de rotation d'un corps solide indéformable autour d'un axe fixe

2 Bac Sciences Physiques · Physique — 7h

Mouvement de rotation d'un corps solide indéformable autour d'un axe fixe

Abscisse angulaire, vitesse angulaire, rotation uniforme, équation horaire.

1.Repérage d'un point en rotation autour d'un axe fixe

a. Rappel

Pour repérer la position d'un point dans un référentiel, on utilise un repère d'espace (O, i, j, K). Le vecteur de position est OG = x·i + y·j + z·k et son module : ||OG|| = √(x² + y² + z²).

Dans le cas d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, on utilise l'abscisse angulaire θ(t) et l'abscisse curviligne s(t) pour repérer la position du point G.

b. Abscisse angulaire et abscisse curviligne

–Abscisse angulaire θ(t) : valeur algébrique de l'angle (Ox, OG). Unité S.I. : le radian (rad).

–Abscisse curviligne s(t) : valeur algébrique de la distance G₀G. Unité S.I. : le mètre (m).

c. Relation entre abscisse angulaire et curviligne

s(t) = R × θ(t)

avec R le rayon de la trajectoire circulaire, s en mètres, θ en radians.

Application 1. Enregistrement d'un point M en rotation. τ = 40 ms entre deux positions successives. L'axe (Oy) passant par M₀ est la direction référentielle ; t = 0 à la position M₂.

1.θ(M₂) = 0 rad (référence). θ(M₃) = arc parcouru entre M₂ et M₃ à mesurer sur la figure.

2.s(M₃) = R·θ(M₃) et s(M₆) = R·θ(M₆), en prenant M₀ comme origine curviligne.

3.R = distance entre l'axe et le point M, à lire sur le graphe (cm → m).

SIMULATION — Abscisse angulaire θ et abscisse curviligne s = R·θ

Rayon R (cm) : 15 θ (rad) : 0.0

s = R × θ = ... cm

Déplacez θ : observez la position du point G et l'arc s = R·θ. θ positif = sens anti-horaire.

2.Vitesse d'un solide en rotation

a. Vitesse angulaire moyenne

La vitesse angulaire moyenne entre les instants t₁ et t₂ :

ω_moy = (θ₂ - θ₁) / (t₂ - t₁) = Δθ / Δt

Unité : rad·s^-1

b. Vitesse angulaire instantanée

La vitesse angulaire instantanée ω_i à t_i est calculée entre les instants t_i-1 et t_i+1 très proches :

ω_i = (θ_i+1 - θ_i-1) / (t_i+1 - t_i-1) = δθ / δt

c. Vitesse linéaire

Vitesse linéaire instantanée :

V_i = (G_i-1G_i+1) / (t_i+1 - t_i-1) = ds/dt

d. Relation entre vitesse angulaire et vitesse linéaire

V_i = ds/dt = d(R·θ)/dt = R · dθ/dt = R · ω_i

V = R × ω

Remarque : à un instant donné, tous les points d'un corps solide en rotation ont la même vitesse angulaire ω, mais des vitesses linéaires V = R·ω différentes selon leur distance R à l'axe.

SIMULATION — V = R·ω : vitesses linéaires de points à différentes distances de l'axe

ω (rad·s^-1) : 3.0

V_A = ... m/s | V_B = ... m/s | V_C = ... m/s

Trois points A, B, C à des rayons différents : même ω, mais V croît avec R. Augmentez ω et observez.

Application 2 — Tambour de machine à laver. d = 46 cm → R = 0,23 m. Vitesse = 800 tr/min.

a.ω = 800 × 2π / 60 = 83,8 rad·s^-1

b.V = R × ω = 0,23 × 83,8 ≈ 19,3 m·s^-1

3.Mouvement de rotation uniforme

a. Définition

Le mouvement de rotation est dit uniforme si la vitesse angulaire ω reste constante : ω = cte

b. Propriétés

–Période T : durée d'un tour complet. T = 2π / ω (en secondes)

–Fréquence f : nombre de tours par seconde. f = 1 / T = ω / (2π) (en Hz)

c. Équation horaire du mouvement de rotation uniforme

θ(t) = ω × t + θ₀

s(t) = V × t + s₀

avec θ₀ la position angulaire initiale et s₀ l'abscisse curviligne initiale.

SIMULATION — Rotation uniforme : θ(t), s(t), T et f en temps réel

ω (rad·s^-1) : 2.0 Rayon R (cm) : 20 θ₀ (rad) : 0.4

T = ... s | f = ... Hz | V = ... m/s

Gauche : disque en rotation avec équation horaire θ(t). Droite : graphe θ(t) = ω·t + θ₀ tracé en direct.

Application 3 — Disque en rotation uniforme. θ = 45 tr, Δt = 3 min.

1.ω = Δθ/Δt = (45 × 2π) / (3 × 60) = π/2 ≈ 1,571 rad·s^-1

2.T = 2π/ω = 2π/(π/2) = 4 s ; f = 1/T = 0,25 Hz

3.V = R·ω = 0,08 × π/2 ≈ 0,126 m·s^-1

4.n = 3T / T = 3 tours

5.Δt = 7 × T = 7 × 4 = 28 s

Exercice 1 — Hélice d'avion. 3 pales, R_ext = 2,10 m, 300 tr/min, R_A = 2 m, R_B = R_C = 1 m.

1.ω = constante → mouvement de rotation uniforme.

2.ω = 300 × 2π / 60 = 10π ≈ 31,4 rad·s^-1

3.V_A = 2 × 10π ≈ 62,8 m·s^-1 ; V_B = V_C = 1 × 10π ≈ 31,4 m·s^-1

4.T = 2π/ω = 2π/(10π) = 0,2 s ; f = 1/T = 5 Hz

5.n = f × Δt = 5 × 15 = 75 tours

6.θ(t) = 10π·t + θ₀ (rad) avec θ₀ position initiale.

7.Distance par tour : d_A = 2π·R_A = 2π × 2 ≈ 12,6 m ; d_B = d_C = 2π × 1 ≈ 6,28 m

SIMULATION — Hélice d'avion : comparer les vitesses linéaires selon le rayon

Vitesse (tr/min) : 300

ω = ... rad/s | V_A = ... m/s | V_B = ... m/s | T = ... s

Les trois pales tournent au même ω. La traînée colorée montre que V augmente avec la distance à l'axe.

Cours — Mouvement de rotation d'un corps solide indéformable — 2 Bac Sciences Physiques